Математика для взрослых

Наша ошибка состояла в том, что мы разделили обе части уравнения на (a − b). Но в случае, когда a = b, (a − b) = 0. Единственное, чего нельзя делать одновременно с обеими частями уравнения, — это делить на ноль! Если, конечно, вы не собираетесь потратить денек-другой на попытки разрушить Вселенную...

Системы уравнений

Если два неизвестных числа входят в два различных уравнения, их, как правило, можно найти.

Вот классическая задачка. Пара ботинок и щетка для обуви стоят 51 фунт, причем ботинки на 50 фунтов дороже щетки. Какова цена щетки?

Попробуйте спросить об этом Малькольма. Скорее всего, он ответит, что щетка стоит 1 фунт, а ботинки 50 фунтов, но тогда получается, что ботинки лишь на 49 фунтов дороже щетки... Выходит, Малькольм ошибается?!

Поразмыслив, вы можете угадать ответ, но я хочу рассказать, как получить его с помощью алгебры. Обозначим цену ботинок буквой s, а цену щетки c. К счастью, у нас достаточно сведений, чтобы составить два уравнения: Уравнение 1. Ботинки и щетка стоят 51 фунт: s + c = 51

Уравнение 2. Ботинки стоят на 50 фунтов дороже щетки: s = 50 + c Простейший способ решения системы уравнений называется подстановкой. Исходя из уравнения 2, s = 50 + c, поэтому перепишем уравнение 1, подставив туда (50 + c) вместо s.

Получаем:

50 + c + c = 51

Меняя знак, переносим 50 в другую часть уравнения и складываем две буквы c: 2c = 51 — 50

Тут все просто…

2c = 1

И наконец, делим обе части уравнения на 2, чтобы узнать цену щетки:

c = 0,5 = 50 пенсов

Согласно уравнению 2, s = 50 + c, так что получаем:

s = 50,5 фунта

Выходит, ботинки стоят 50,5 фунта, а щетка 0,5 фунта. Ответ неожиданный, но верный!

Загадай число

Этот трюк можно проделать с любым числом, даже дробью. Давайте с помощью алгебры разберемся, что здесь к чему. Число нам неизвестно, поэтому просто назовем его n и посмотрим, что с ним происходит по мере выполнения разных действий.

Действие

Что происходит

Промежуточный результат

Загадай число

Назовем его n

n

Умножь на 5

Теперь у нас есть 5n

5n

Прибавь 3

5n + 3. Пока все нормально

5n + 3

Умножь на 2

Умножаем на 2 все имеющееся на текущий момент; для верности ставим скобки

2(5n + 3) = 10n + 6

Прибавь 4

Тут все просто

10n + 6 + 4 = 10n + 10

Раздели на 10

Нужно все разделить на 10, снова используем скобки

(10n + 10) ÷ 10 = n + 1

Вычти загаданное число

Просто вычитаем n

n + 1 – n = 1

Получается 1

n полностью исчезает из уравнения, остается единица!

Хватит алгебры

Заглянув в школьные учебники, вы увидите множество всяких x, y и задач, которые сводятся к перестановкам чего-либо с привлечением толики здравого смысла. Есть масса толстенных книг по алгебре, поэтому понятно, что я не могу рассказать здесь обо всем, но вот еще одна задачка, которую алгебра помогает решить весьма точно и элегантно.

На старинных часах ровно 6 часов вечера. Сколько будет времени, когда минутная стрелка догонит часовую?

Разумеется, сложность в том, что часовая стрелка постоянно медленно движется. Как же это учесть?

Допустим, m — это количество минут, прошедших после 6 часов до того момента, когда минутная и часовая стрелки совпадут.

Минутной стрелке понадобится 30 минут, чтобы добраться до цифры 6, плюс пройти дистанцию, которую преодолеет часовая стрелка за m минут. Давайте это запишем:

Нам нужно выяснить, как далеко продвинется часовая стрелка за m минут.

Минутная стрелка делает один полный оборот в час. Часо­вой стрелке нужно 12 часов, чтобы сделать полный оборот, то есть ее скорость — 1/12 от скорости минутной.

Составим уравнение:

m = 30 + m/12

Число 12 в качестве знаменателя выглядит отвратительно, однако не волнуйтесь — мы умножим на 12 обе части уравнения: 12m = 360 + m

Перенесем + m в другую часть уравнения, поменяв знак:

12m — m = 360

Вычтем 1m из 12m:

11m = 360

Разделим обе части на 11:

m = 32,727

Выходит, стрелки совпадут через 32,727 минуты после 6 часов вечера. Однако 0,727 минуты в ответе смотрятся некрасиво. Поскольку в минуте 60 секунд, в секундах это будет 0,727 × 60, то есть около 44 секунд. Теперь у нас есть понятный ответ: стрелки совпадут в 6:32:44 вечера.

СКОРОСТЬ

Всем нам порой приходится планировать свои передвижения. Возможно, вам интересно, сколько времени займет поездка на работу или, если вы добрались слишком быстро, не засекли ли ваш автомобиль дорожные радары...

Расчет скорости

К поездкам имеют отношение три фактора: расстояние, скорость и время в пути. Вот как они взаимосвязаны:

расстояние = скорость × время, или d = st

Здесь d обозначает расстояние (от англ. distance — расстояние), s — скорость (от англ. speed — скорость) и t — время (от англ. time — время).

То, что d = st, легко запомнить, поскольку буквы s, t стоят в алфавитном порядке. Из этого уравнения следуют два других.

Разделив обе части на t, получим: s = d/t

Или, разделив обе части на s, получим: t = d/s