Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Зная ковариацию и стандартные отклонения, мы можем рассчитать коэффици­ент линейной корреляции:

Отметьте, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1:

Теперь можно создать таблицу ковариаций для нашего примера с четырьмя инве­стиционными альтернативами:

	Т	I	L	S
Т	0,1	- 0,0237	0,01	0
I	- 0,0237	0,25	0,079	0
L	0,01	0,079	0,4	0
S	0	0	0	0

Мы собрали необходимую параметрическую информацию и теперь попытаемся сформулировать основную проблему. Во-первых, сумма весов ценных бумаг, со­ставляющих портфель, должна быть равна 1, так как операции ведутся на денеж­ном счете, и каждая ценная бумага полностью оплачена:

где N == число ценных бумаг, составляющих портфель;

Х = процентный вес ценной бумаги L

Важно отметить, что в уравнении (6.04) каждое значение Х должно быть неотрица­тельным числом.

Следующее равенство относится к ожидаемой прибыли всего портфеля — это Е в теории Е — V. Ожидаемая прибыль портфеля является суммой прибылей его компонентов, умноженных на соответствующие веса:

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

X_i = процентный вес ценной бумаги i;

U_i= ожидаемая прибыль ценной бумаги i. И наконец, мы подошли к параметру V, т. е дисперсии ожидаемых прибылей:

Нашей целью является поиск значений Х (причем их сумма равна единице), ко­торые дают наименьшее значение V для определенного значения Е. Максимизи­ровать (или минимизировать) функцию Н(Х, Y) при наличии условия или огра­ничения G(X, Y) можно с помощью метода Лагранжа. Для этого зададим функцию Лагранжа F(X, Y, L):

(6.07) F(X,Y,L) = H(X,Y) + L * G(X,Y)

Обратите внимание на форму уравнения (6.07). Новая функция F(X,Y,L) равна множителю Лагранжа L (его значение мы пока не знаем), умноженному на огра­ничительную функцию G(X,Y), плюс первоначальная функция H(X,Y), экстре­мум которой мы и хотим найти.

Решение этой системы из трех уравнений даст точки (X₁Y₁) относительного экстремума:

F_xX,Y,L) = О F_y(X,Y,L) = О F_L(X,Y,L) = О

Допустим, мы хотим максимизировать произведение двух чисел при условии, что их сумма равна 20. Пусть Х и Y два числа. Таким образом, H(X,Y) = Х * Y является функцией, которая должна быть максимизирована при нали­чии ограничительной функции G(X,Y) = Х + Y - 20 = 0. Зададим функцию Лагранжа:

F(X,Y,L) = Х * Y + L * (X + Y- 20) F_x(X,Y,L)=Y+L F_y(X,Y,L)=X+L F_L(X,Y,L)=

X +Y-20

Теперь приравняем F^(X,Y,L) и Fy(X,Y,L) нулю и решим каждое из них для полу­чения L:

Y+L=0 Y=-L и

X+L=0 X=-L

Теперь, приняв F_L(X,Y,L) = 0, мы получим Х + Y - 20 = 0. Наконец, заме­ним Х и Y эквивалентными выражениями, содержащими L:

(-L) + (-L) - 20 = О 2 * -L - 20 L=-10

Так как Y = -L, то Y = 10 и Х = 10. Максимальное произведение: 10*10= 100.

Метод множителей Лагранжа был продемонстрирован для двух переменных и одной 01раничительной функции. Метод можно также применять, когда есть бо­лее чем две переменные и более чем одна ограничительная функция. Далее для примера следует форма для поиска экстремума, когда есть три переменные и две ограничительные функции:

В этом случае, чтобы определить точки относительных экстремумов, вам надо ре­шить систему из пяти уравнений с пятью неизвестными. Позже мы покажем, как это сделать.

Сформулируем проблему несколько иначе: необходимо минимизировать V, т.е. дисперсию всего портфеля, с учетом двух следующих ограничений:

где N= число ценных бумаг, составляющих портфель;

Е = ожидаемая прибыль портфеля;

Х = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i.

Минимизация ограниченной функции многих переменных может быть проведе­на путем введения множителей Лагранжа и частного дифференцирования по каждой переменной. Поэтому мы сформулируем поставленную задачу в терминах функции Лагранжа, которую назовем Т:

где V= дисперсия ожидаемых прибылей портфеля из уравнения (6.06);

N = число ценных бумаг, составляющих портфель;

Е = ожидаемая прибыль портфеля;

X. = процентный вес ценной бумаги i;

U. = ожидаемая прибыль ценной бумаги i;

L, = первый множитель Лагранжа;

L = второй множитель Лагранжа.

Мы получим портфель с минимальной дисперсией (т.е. минимальным риском), приравняв к нулю частные производные функции Т по всем переменньм.

Давайте снова вернемся к нашим четырем инвестициям: Toxico, Incubeast Corp., LA Garb и сберегательному счету. Если мы возьмем первую частную произ­водную Т по Х₁, то получим:

Приравняв это выражение нулю и разделив обе части уравнения на 2, получим:

Таким же образом:

Таким образом, проблему минимизации V при данном Е для портфеля с N компонентами можно решить с помощью системы N + 2 уравнений с N + 2 неиз­вестными. Для случая с четырьмя компонентами обобщенная форма будет иметь следующий вид:

где Е = ожидаемая прибыль портфеля;

Х_i = процентный вес ценной бумаги i;

U_i = ожидаемая прибыль по ценной бумаге i;

COV _{А, Б} = ковариация между ценными бумагами А и Б;

L₁ = первый множитель Лагранжа;

1₂ = второй множитель Лагранжа.