Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Обобщенную форму можно использовать для любого числа компонентов. Напри­мер, если речь идет о трех компонентах (т.е. N = 3), система уравнений будет выг­лядеть следующим образом:

Прежде чем решать систему уравнений, необходимо задать уровень ожидаемой прибыли Е. Решением будет комбинация весов, которая даст искомое Е при наименьшей дисперсии. После того как вы определитесь с выбором Е, у вас бу­дут все входные переменные, необходимые для построения матрицы коэффи­циентов.

Переменная Е в правой части первого уравнения — это значение прибыли. для которой вы хотите определить комбинацию ценных бумаг в портфеле. Первое уравнение говорит о том, что сумма всех ожидаемых прибылей, умноженных на

соответствующие веса, должна равняться заданному Е. Второе уравнение отража­ет тот факт, что сумма весов должна быть равна 1. Была показана матрица для слу­чая с тремя ценными бумагами, но вы можете использовать обобщенную форму для N ценных бумаг.

Возьмем ожидаемые прибыли и ковариации из уже известной таблицы ковариаций и подставим коэффициенты в обобщенную форму. Таким образом из ко­эффициентов обобщенной формы можно создать матрицу. В случае четырех ком­понентов (N = 4) мы получим 6 рядов (N + 2):

X1	X2	X3	X4	L1	L2	Ответ
0,095	0,13	0,21	0,085			Е
1	1	1	1			1
0,1	- 0,0237	0,01	0	0,095	1	0
- 0,0237	0,25	0,079	0	0,13	1	0
0,01	0,079	0,4	0	0,21	1	0
0	0	0	0	0,085	1	0

Отметьте, что мы получили 6 столбцов коэффициентов. Если добавить столбец свободных членов к матрице коэффициентов, мы получим расширенную матрицу.

Заметьте, что коэффициенты в матрице соответствуют нашей обобщенной форме:

Матрица является удобным представлением этих уравнений. Чтобы решить сис­тему уравнений, необходимо задать Е. Ответы, полученные при решении этой

системы уравнений, дадут оптимальные веса, минимизирующие дисперсию при­были всего портфеля для выбранного уровня Е.

Допустим, мы хотим найти решение для Е = 0,14, что соответствует прибыли в 14%. Подставив в матрицу 0,14 для Е и нули для переменных L₁ и L₂ в первых двух строках, мы получим следующую матрицу:

X1	X2	Х3	X4	L1	L2	Ответ
0,095	0,13	0,21	0,085	0	0	0,14
1	1	1	1	0	0	1
0,1	- 0,0237	0,01	0	0,095	1	0
- 0,0237	0,25	0,079	0	0,13	1	0
0,01	0,079	0,4	0	0,21	1	0
0	0	0	0	0,085	1	0

Необходимо найти N + 2 неизвестных с помощью N + 2 уравнений.

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц-строк.

Многочлен — это алгебраическое выражение, которое является суммой опреде­ленного количества элементов. Многочлен с одним элементом называется одно­членом, с двумя элементами — двучленом, с тремя — трехчленом и т.д. Выраже­ние 4 * А ^ 3 + А ^ 2 +А+2 является многочленом, имеющим четыре члена. Члены отделены знаком (+).

Многочлены имеют различные степени. Степень многочлена определяется зна­чением наибольшей степени любого из элементов. Степенью элемента является сумма показателей переменных, содержащихся в элементе. Показанное выше вы­ражение является многочленом третьей степени, так как элемент 4 * А^ 3 имеет третью степень, и это наивысшая степень среди всех элементов многочлена. Если бы элемент был равен 4*A^З*B^62*C, мы бы получили многочлен шестой степени, так как сумма показателей переменных (3+2+1) равна 6.