Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

После того как найдена единичная матрица, следует интерпретировать получен­ные результаты. В данном случае при наличии входных данных об ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей по всем рассматриваемым компонентам, при наличии коэффициентов линейной корреляции каждой пары компонентов и ожидаемой отдаче 14% наше решение является оптимальным. Слово «оптималь­ный» означает, что полученное решение дает самую низкую дисперсию при ожи­даемой прибыли 14%. Мы можем определить это значение дисперсии, но сначала интерпретируем результаты.

Первые четыре значения, от X₁ до Х₄ дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,391% в Toxico, 12,787% в Incubeast, 38,407% в LA Garb и 36,424% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50 000 дол­ларов, то получим:

Акция	Процент	(* 50000 =) сумма инвестиций
Toxico	0,12391	$6195,50
Incubeast	0,12787	$6393,50
LA Garb	0,38407	$19 203,50
Сберегательный счет	0,36424	$18212,00

Таким образом, в Incubeast мы бы инвестировали 6393,50 доллара. Теперь допус­тим, что Incubeast котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 319,675 акции (6393,5 / 20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 319, либо 320 акций. Следует также отметить, что не­большой лот из 19 или 20 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколько доро­же, поэтому мы переплатим за 19 или 20 акций, а это коснется ожидаемой прибы­ли по нашей позиции в Incubeast и в свою очередь затронет оптимальную комби­нацию портфеля. В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в на­шем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем определить оптимальный портфель с точ­ностью до дробной части акции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы. Естественно, чем больше ваш счет, тем ближе будет реальный портфель к тео­ретическому. Допустим, вместо 50 000 долларов вы оперируете пятью миллиона­ми долларов. Вы хотите инвестировать 12,787% в Incubeast (если речь идет только об этих четырех инвестиционных альтернативах) и поэтому будете инвестиро­вать 5 000 000*0,12787 =$639 350. При цене 20 долларов за акцию вы бы ку­пили 639350/20=31967,5 акций. Учитывая круглый лот, вы купите 31900 акций, отклоняясь от оптимального значения примерно на 0,2%. Когда для инве­стирования у вас есть только 50 000 долларов, вы купите 300 акций вместо опти­мального количества 319,675 и таким образом отклонитесь от оптимального зна­чения примерно на 6,5%.

Подставим значения в уравнение (6.06a) (стр. 281):

Таким образом, при Е = 0,14 самое низкое значение V = 0,0725872809.

Если мы захотим протестировать значение Е = 0,18, то снова начнем с рас­ширенной матрицы, только на этот раз правая верхняя ячейка будет равна 0.18.

Xi		Xj		COVi, j
0,12391	*	0,12391	*	0,1	0,0015353688
0,12391	*	0,12787	*	-0,0237	-0,0003755116
0,12391	*	0,38407	*	0,01	0,0004759011
0,12391	*	0,36424	*	0	0
0,12787	*	0,12391	*	-0,0237	-0,0003755116
0,12787	*	0,12787	*	0,25	0,0040876842
0,12787	*	0,38407	*	0,079	0,0038797714
0,12787	*	0,36424	*	0	0
0,38407	*	0,12391	*	0,01	0,0004759011
0,38407	*	0,12787	*	0,079	0,0038797714
0,38407	*	0,38407	*	0,4	0,059003906
0,38407	*	0,36424	*	0	0
0,36424	*	0,12391	*	0	0
0,36424	*	0,12787	*	0	0
0,36424	*	0,38407	*	0	0
0,36424	*	0,36424	*	0	0
					0,0725872809

С помощью построчных операций получим единичную матрицу:

На этот раз в четвертой ячейке столбца ответов мы получили отрицательный ре­зультат. Это означает, что нам следует инвестировать отрицательную сумму в размере 9,81% капитала в сберегательный счет. Чтобы решить проблему отрица­тельного X_i (т.е. когда значение на пересечении строки i и крайнего правого столбца меньшее или равно нулю), мы должны удалить из первоначальной рас­ширенной матрицы строку i + 2 и столбец i и решить задачу для новой расши­ренной матрицы. Если значения последних двух строк крайнего правого столб­ца меньше или равны нулю, нам не о чем беспокоиться, поскольку они соответ­ствуют множителям Лагранжа и могут принимать отрицательные значения. Так как отрицательное значение переменной соответствует отрицательному весу четвертого компонента, мы удалим из первоначальной расширенной матрицы четвертый столбец и шестую строку. Затем используем построчные операции для проведения элементарных преобразований, чтобы получить единичную матрицу: