Читаем Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров полностью

С помощью построчных операций получим единичную матрицу:

Когда вы удаляете строки и столбцы, важно помнить, какие строки каким пере­менным соответствуют, особенно когда таких строк и столбцов несколько. Допу­стим, нам надо найти веса в портфеле при Е = 0,1965. Единичная матрица, кото­рую мы сначала получим, будет содержать отрицательные значения для весов Toxico (X1) и сберегательного счета (Х4). Поэтому вернемся к нашей первоначаль­ной расширенной матрице:

Теперь удалим строку 3 и столбец 1 (они относятся к Toxico), а также удалим стро­ку 6 и столбец 4 (они относятся к сберегательному счету):

Итак, мы будем работать со следующей матрицей:

С помощью построчных операций получим единичную матрицу:

Решить матрицу можно также с помощью обратной матрицы коэффициентов. Обратная матрица при умножении на первоначальную матрицу дает единичную матрицу. В матричной алгебре матрица часто обозначается выделенной заглавной бук­вой. Например, мы можем обозначить матрицу коэффициентов буквой С. Обрат­ная матрица помечается верхним индексом -1. Обратная матрица к С обозначает­ся как С-1.Чтобы использовать этот метод, необходимо определить обратную мат­рицу для матрицы коэффициентов. Для этого добавим к матрице коэффициентов единичную матрицу. В примере с 4 акциями:

Используя построчные операции, преобразуем матрицу коэффициентов в еди­ничную матрицу. Так как каждая построчная операция, проведенная слева, будет проведена и справа, мы преобразуем единичную матрицу справа в обратную мат­рицу С-1.

Теперь мы можем умножить обратную матрицу С-1 на первоначальный крайний правый столбец, который в нашем случае выглядит следующим образом:

При умножении матрицы на вектор-столбец мы умножаем все элементы первого столбца матрицы на первый элемент вектора, все элементы второго столбца матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Если бы вектор был вектор-строка, мы бы умножили все элементы первой строки матрицы на первый элемент вектора, все элементы второй строки матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Так как речь идет о векторе-столбце и после­дние четыре элемента нули, нам надо умножить первый столбец обратной матрицы на Е (ожидаемая прибыль портфеля) и второй столбец обратной матрицы на S (сумма весов). Мы получим следующий набор уравнений, в ко­торые можно подставить значения Е и S и получить оптимальные веса.

Матричная алгебра включает в себя гораздо больше тем и приложений, чем было рассмотрено в этой главе. Существуют и другие методы матричной алгебры для ре­шения систем линейных уравнений. Часто вы встретите ссылки на правило Краме­ра, симплекс-метод или симплексную таблицу. Эти методы сложнее, чем методы, описанные в этой главе. Существует множество применений матричной алгебры в бизнесе и науке, мы же затронули ее настолько, насколько необходимо для наших це­лей. Для более подробного изучения матричной алгебры и ее применений в бизнесе и науке рекомендую прочитать книгу «Множества, матрицы и линейное программи­рование» Роберта Л. Чилдресса (Sets, Matrices, and Linear Programming, by Robert L. Childress). Следующая глава посвящена методам, уже рассмотренным в этой главе, приме­нительно к любому торгуемому инструменту с использованием оптимального f и ме­ханических систем.


Глава 7

Геометрия портфелей


Мы уже познакомились с несколькими способами расчета опти­мального f для рыночных систем. Также мы знаем, как найти эф­фективную границу. В этой главе мы покажем, как объединить идею оптимального f и идею эффективной границы для получения действительно эффективного портфеля, геометрический рост которого максимален. Мы также коснемся геометрии портфеля.


Линии рынка капитала (Capital Market Lines — CMLs)

Перейти на страницу:

Похожие книги

Управляй своим боссом. Как стать высокоэффективным лидером менеджеру среднего звена
Управляй своим боссом. Как стать высокоэффективным лидером менеджеру среднего звена

Руководителям среднего звена часто приходится влиять на подчиненных, равных по должности коллег и даже на босса, и очень важно, чтобы это влияние вело к позитивным переменам. Здесь нужна инициативность, твердость, настойчивость, умение убеждать и немалый энтузиазм. Джон Бальдони, один из самых влиятельных экспертов по вопросам лидерства, по версии Leadership Gurus International, рассказывает, как обрести качества, присущие высокоэффективным лидерам. Благодаря его советам вы стремительно подниметесь по карьерной лестнице и взлетите к самым вершинам. Книга научит вас мыслить стратегически, мотивировать на инновации, объединять людей вокруг общей цели, развивать способности своих сотрудников, конструктивно критиковать и получать откровенную обратную связь от подчиненных, корректно оспаривать мнение вышестоящих руководителей и добиваться своего, стойко переносить неудачи и обращать свои беды в победы.

Джон Бальдони

Деловая литература