Читаем Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров полностью

С помощью построчных операций получим единичную матрицу:

Когда вы удаляете строки и столбцы, важно помнить, какие строки каким пере­менным соответствуют, особенно когда таких строк и столбцов несколько. Допу­стим, нам надо найти веса в портфеле при Е = 0,1965. Единичная матрица, кото­рую мы сначала получим, будет содержать отрицательные значения для весов Toxico (X1) и сберегательного счета (Х4). Поэтому вернемся к нашей первоначаль­ной расширенной матрице:

Теперь удалим строку 3 и столбец 1 (они относятся к Toxico), а также удалим стро­ку 6 и столбец 4 (они относятся к сберегательному счету):

Итак, мы будем работать со следующей матрицей:

С помощью построчных операций получим единичную матрицу:

Решить матрицу можно также с помощью обратной матрицы коэффициентов. Обратная матрица при умножении на первоначальную матрицу дает единичную матрицу. В матричной алгебре матрица часто обозначается выделенной заглавной бук­вой. Например, мы можем обозначить матрицу коэффициентов буквой С. Обрат­ная матрица помечается верхним индексом -1. Обратная матрица к С обозначает­ся как С-1.Чтобы использовать этот метод, необходимо определить обратную мат­рицу для матрицы коэффициентов. Для этого добавим к матрице коэффициентов единичную матрицу. В примере с 4 акциями:

Используя построчные операции, преобразуем матрицу коэффициентов в еди­ничную матрицу. Так как каждая построчная операция, проведенная слева, будет проведена и справа, мы преобразуем единичную матрицу справа в обратную мат­рицу С-1.

Теперь мы можем умножить обратную матрицу С-1 на первоначальный крайний правый столбец, который в нашем случае выглядит следующим образом:

При умножении матрицы на вектор-столбец мы умножаем все элементы первого столбца матрицы на первый элемент вектора, все элементы второго столбца матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Если бы вектор был вектор-строка, мы бы умножили все элементы первой строки матрицы на первый элемент вектора, все элементы второй строки матрицы на второй элемент вектора, и так далее. Так как речь идет о векторе-столбце и после­дние четыре элемента нули, нам надо умножить первый столбец обратной матрицы на Е (ожидаемая прибыль портфеля) и второй столбец обратной матрицы на S (сумма весов). Мы получим следующий набор уравнений, в ко­торые можно подставить значения Е и S и получить оптимальные веса.

Матричная алгебра включает в себя гораздо больше тем и приложений, чем было рассмотрено в этой главе. Существуют и другие методы матричной алгебры для ре­шения систем линейных уравнений. Часто вы встретите ссылки на правило Краме­ра, симплекс-метод или симплексную таблицу. Эти методы сложнее, чем методы, описанные в этой главе. Существует множество применений матричной алгебры в бизнесе и науке, мы же затронули ее настолько, насколько необходимо для наших це­лей. Для более подробного изучения матричной алгебры и ее применений в бизнесе и науке рекомендую прочитать книгу «Множества, матрицы и линейное программи­рование» Роберта Л. Чилдресса (Sets, Matrices, and Linear Programming, by Robert L. Childress). Следующая глава посвящена методам, уже рассмотренным в этой главе, приме­нительно к любому торгуемому инструменту с использованием оптимального f и ме­ханических систем.


Глава 7

Геометрия портфелей


Мы уже познакомились с несколькими способами расчета опти­мального f для рыночных систем. Также мы знаем, как найти эф­фективную границу. В этой главе мы покажем, как объединить идею оптимального f и идею эффективной границы для получения действительно эффективного портфеля, геометрический рост которого максимален. Мы также коснемся геометрии портфеля.


Линии рынка капитала (Capital Market Lines — CMLs)

Перейти на страницу:

Похожие книги

Время – деньги
Время – деньги

«Кто весь день работает, тому некогда зарабатывать деньги» – знакомая ситуация? А ведь так считал один из самых успешных и богатых предпринимателей в истории.Если вы хотите, но не знаете, как заработать свой первый капитал, – автобиографии Генри Форда и Джона Дэвисона Рокфеллера помогут успешно начать бизнес.Советы, которые находятся в этой книге, можно использовать и в повседневной жизни.Например, у Рокфеллера предпринимательская жилка появилась еще в детстве. Джон покупал фунт конфет, делил его на маленькие кучки и с наценкой распродавал собственным сестрам.Мудрость и опыт этих людей послужат вам отправной точкой для финансовой независимости, помогут развить творческое мышление и успешное решение задач.Оказывается, необязательно быть гением – трудолюбие, здравый расчет, правильное воспитание и отличное образование вкупе с умением общаться с людьми и в них разбираться – все, что нужно.Придерживайтесь принципа «учиться у лучших», и тогда все в ваших руках!

Генри Форд , Джон Дэвисон Рокфеллер

Деловая литература