Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

где ACML = AHPR линии CML при данной координате риска, или соот­ветствующем проценте, рассчитанном из (7.02);

AT =значение AHPR касательной точки, полученное из (7.01а);

Р= процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

RFR= безрисковая ставка.

Стандартное отклонение определенной точки на линии CML для данного AHPR рассчитывается следующим образом:

(7.04) SD=P*ST,

где SD = стандартное отклонение в данной точке на линии CML при определенном проценте Р, соответствующем данному AHPR;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

ST = значение стандартного отклонения касательного портфеля.

Геометрическая эффективная граница

Особенность рисунка 7-1 состоит в том, что он отображает арифметическое сред­нее HPR. Если прибыли реинвестируются, то для координаты эффективной гра­ницы по оси Y правильнее рассматривать геометрическое среднее HPR. Такой

подход многое меняет. Формула для преобразования точки на эффективной гра­нице из арифметического HPR в геометрическое такова:

где GHPR = геометрическое среднее HPR;

AHPR = арифметическое среднее HPR;

V= координата дисперсии (она равна координате стандартного отклонения в квадрате).

Рисунок 7-2 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

На рисунке 7-2 показана эффективная граница, соответствующая арифметичес­ким средним HPR, и граница, соответствующая геометрическим средним HPR. Посмотрите, что происходит с эффективной границей при реинвестировании.

Построив линию GHPR, можно определить, какой портфель является геометрически оптимальным (наивысшая точка на линии GHPR). Вы може­те найти этот портфель, преобразовав AHPR и V каждого портфеля на эф­фективной границе AHPR в GHPR с помощью уравнения (7.05) и выбрав максимальное значение GHPR. Однако, зная AHPR и V портфелей, лежа­щих на эффективной границе AHPR, можно еще проще определить геомет­рический оптимальный портфель, он должен удовлетворять следующему уравнению:

(7.06a) AHPR-1-V=0,

где АН PR = арифметическое среднее HPR, т.е. координата Е дан­ного портфеля на эффективной границе;

V= дисперсия HPR, т.е. координата V данного портфеля на эффективной границе. Она равна стандартному отклонению в квадрате.

Уравнение (7.06a) также можно представить следующим образом:

(7.06б) AHPR - 1 = V

(7.06в) AHPR-V=1

(7.06г) AHPR=V+1

Необходимо сделать небольшое замечание по геометрическому оптимально­му портфелю. Дисперсия в портфеле в общем случае имеет положительную корреляцию с наихудшим проигрышем. Более высокая дисперсия обычно со­ответствует портфелю с более высоким возможным проигрышем. Так как гео­метрический оптимальный портфель является портфелем, для которого Е и V равны (при E=AHPR- 1), мы можем допустить, что геометрический опти­мальный портфель будет иметь высокие проигрыши. Фактически, чем боль­ше GHPR геометрического оптимального портфеля (т.е. чем больше зараба­тывает портфель), тем больше может быть его текущий проигрыш (откат по балансу счета), так как GHPR положительно коррелирован с AHPR. Здесь мы видим некий парадокс. С одной стороны нам следует использовать геометри­ческий оптимальный портфель, с другой — чем выше среднее геометрическое портфеля, тем большими будут откаты по балансу счета в процентном выра­жении. Мы знаем также, что при диверсификации следует выбирать порт­фель с наивысшим средним геометрическим, а не с минимальным проигры­шем, но эти величины стремятся в противоположных направлениях! Геомет­рический оптимальный портфель — это портфель, который расположен в точке, где линия, прочерченная из (0, 0) с наклоном 1, пересекает эффектив­ную границу AHPR.

Рисунок 7-2 показывает эффективные границы на основе одной сделки. Мы можем преобразовать геометрическое среднее HPR в TWR с помощью уравнения:

(7.07) GTWR = GHPR^ N,

где GTWR = значение вертикальной оси, соответствующее данному GHPR после N сделок;

N - число сделок, которые мы хотим использовать.

Рисунок 7-3 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

Рисунок 7-4 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования

Пусть нашей целью будет AHPR при значении V, которое соответствует геометричес­кому оптимальному портфелю. В знаменателе (2.09а) мы используем среднее геомет­рическое геометрического оптимального портфеля. Теперь мы можем определить, сколько сделок необходимо для того, чтобы привести наш геометрический опти­мальный портфель к одной сделке арифметического портфеля:

N=ln(l,031)/ln(l,01542) =0,035294/0,0153023 = 1,995075