Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Удалим из матрицы сберегательный счет и повторим процедуру. На этот раз мы рассмотрим только четыре рыночные системы (Toxico, Incubeast, LA Garb и NIC) и ограничим сумму весов числом 9. Мы должны поступить таким образом, потому что, как только в матрице появляется компонент с нулевой дисперсией и AHPR большим 1, мы получаем оптимальный портфель, состоящий из одного компонента, а для соответствия требуемому Е будет меняться только рычаг это­го компонента.

Решив матрицу, мы увидим, что уравнения с (7.06а) по (7.06г) удовлетворяют­ся при Е, равном 0,2457. Так как это геометрический оптимальный портфель, V также равно 0,2457. Получившееся среднее геометрическое равно 1,142833. Порт­фель будет выглядеть следующим образом:

Toxico 102,5982%

Incubeast 49,00558%

LA Garb 40,24979%

NIC 708,14643%

Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже.

Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптималь­ного портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, ког­да NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфе­ля. Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем ко­эффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют поло­жительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирова­ние бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать. Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимально­го портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не мо­жет считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптималь­ного портфеля.

Оптимальное f и оптимальные портфели

Из главы 6 мы узнали, что для каждого компонента портфеля необходимо опре­делить ожидаемую прибыль (в процентах) и ожидаемую дисперсию прибылей. В общем случае, ожидаемые прибыли (и дисперсии) рассчитываются на основе текущей цены акции. Затем для каждого компонента определяется его опти­мальный процент (вес). Далее, для расчета суммы инвестиций в тот или иной компонент, баланс на счете умножается на вес компонента, и затем для опреде­ления количества акций для покупки эта сумма в долларах делится на текущую цену одной акции.

Так в общих чертах можно описать современную стратегию создания порт­феля. Но это не совсем оптимальный вариант, и в этом состоит одна из основ­ных идей книги. Вместо определения ожидаемой прибыли и дисперсии прибы­ли на основе текущей цены компонента, ожидаемая прибыль и дисперсия при­былей для каждого компонента должны определяться на основе долларового оптимального f. Другими словами, в качестве входных данных вы должны ис­пользовать арифметическое среднее HPR и дисперсию HPR. Используемые HPR должны быть привязаны не к количеству сделок, а к фиксированным ин­тервалам времени (дни, недели, месяцы, кварталы или годы), как в главе 1 для уравнения (1.15).

где А = сумма в долларах, выигранная или проигранная в этот день;

В = оптимальное f в долларах.

Не обязательно использовать дневные данные, можно использовать любой вре­менной период, при условии, что он одинаковый для всех компонентов портфеля (тот же временной период должен использоваться для определения коэффициен­тов корреляции между HPR различных компонентов). Скажем, рыночная систе­ма с оптимальным f= 2000 долларов за день заработала 100 долларов. Тогда для такой рыночной системы дневное HPR = 1,05.

Если вы рассчитываете оптимальное f на основе приведенных данных, то для получения дневных HPR следует использовать уравнение (2.12);

где D$ = изменение цены 1 единицы в долларах по сравнению с прошлым днем, т.е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * доллары за пункт;

f$ = текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11). Здесь текущей ценой является зак­рытие последнего дня.

После того как вы определите оптимальное f в долларах для 1 единицы компонен­та, надо взять дневные изменения баланса на основе 1 единицы и преобразовать их в HPR с помощью уравнения (1.15). Если вы используете приведенные дан­ные, воспользуйтесь уравнением (2.12). Когда вы комбинируете рыночные систе­мы в портфеле, все они должны иметь одинаковый формат, т.е. если данные при­ведены к текущим ценам, то оптимальные f и побочные продукты также должны быть приведенными.