Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Таким образом, можно ожидать, что через 1,995075, или приблизительно через 2 сделки, оптимальное GHPR достигнет соответствующего (при том же V) AHPR для одной сделки. Здесь возникает проблема, которая заключается в том, что ATWR должно отражать тот факт, что прошли две сделки. Другими словами, когда GTWR приближается к ATWR, ATWR двигается вверх, хотя и с постоянной скоростью (в отличие от GTWR, которое ускоряется). Можно решить эту проблему с по­мощью уравнений (7.07) и (7.08) для расчета геометрического и арифметичес­кого TWR:

Так как мы знаем, что, когда N = 1, G всегда меньше А, можно перефразировать вопрос: «При скольких N G будет равно А?» Математически это будет выглядеть таким образом:

что можно представить следующим образом:

или

или

N в уравнениях с (7.10а) по (7. 10г) представляет собой количество сделок, кото­рое необходимо для того, чтобы геометрическое HPR стало равно арифметичес­кому. Все три уравнения эквивалентны. Решение можно получить методом ите­раций. Зная для нашего геометрического оптимального портфеля GHPR= 1,01542 и соответствующее AHPR= 1,031 и решая любое уравнение с (7.10а) по (7. 10г), мы находим, что N = 83,49894. Таким образом, после того, как пройдет 83,49894 сделки, геометрическое TWR догонит арифметическое. Полу­ченный результат справедлив для тех TWR, которые соответствуют координате дисперсии геометрического оптимального портфеля.Так же, как и AHPR, GHPR имеет свою линию CML. Рисунок 7-5 показывает как AHPR, так и GHPR с линиями CML, рассчитанными на основе безрисковой ставки.

Рисунок 7-5AHPR, GHPR и их линии CML

Зная CML для AHPR, можно рассчитать CML для GHPR следующим образом:

CMLG = координата Е (по вертикали) линии CML для GHPR при данной координате V, соответствующей Р;

CMLA= координата Е (по вертикали) линии CML для AHPR при данной координате V, соответствующей Р;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

VT = координата дисперсии касательного портфеля.

Следует иметь в виду, что для данной безрисковой ставки касательный портфель и геометрический оптимальный портфель в общем случае не одинаковы. Портфели будут идентичными при выполнении следующего равенства:

(7.12) RFR=GHPROPT-1,

где RFR = безрисковая ставка;

GHPROPT = среднее геометрическое HPR геометрического оптималь­ного портфеля, т.е. координата Е портфеля на эффектив­ной границе.

Только когда разность GHPR геометрического оптимального портфеля и еди­ницы равна безрисковой ставке, геометрический оптимальный портфель и ка­сательный портфель будут одинаковыми. Если RFR > GHPROPT - 1, тогда гео­метрический оптимальный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую диспер­сию, чем касательный портфель). Если RFR < GHPROPT - 1, тогда касательный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем геометрический оп­тимальный портфель). Во всех случаях касательный портфель, конечно же, ни­когда не будет иметь более высокое GHPR, чем геометрический оптимальный портфель.

Отметьте также, что точки касания CML к GHPR и CML к AHPR имеют одну координату SD. Мы можем использовать уравнение (7.01а) для поиска касатель­ного портфеля GHPR, заменив в (7.01а) AHPR на GHPR. В результате получится следующее уравнение:

где МАХ{}= максимальное значение;

GHPR = геометрическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т.е. координата SD данного портфеля на эффективной границе;

RFR = безрисковая ставка.

Неограниченные портфели

В этом разделе мы увидим, что можно поднять прибыли выше линии GCML, если снять ограничение на сумму весов. Давайте вернемся к геометрическим оп­тимальным портфелям. Если мы попробуем составить геометрический опти­мальный портфель из наших четырех рыночных систем — Toxico, Incubeast, LA Garb и сберегательного счета, то с помощью уравнений с (7.0ба) по (7.06г) най­дем, что он является таковым при Е, равном 0,1688965, и V, равном 0,1688965. Среднее геометрическое такого портфеля будет равно 1,094268, а состав портфе­ля будет иметь вид:

Toxico 18,89891%

Incubeast 19,50386%

LA Garb 58,58387%

Сберегательный счет 0,03014%