Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Многочлен первой степени называется также линейным уравнением и графи­чески задается прямой линией. Многочлен второй степени называется квадрат­ным уравнением и на графике представляет собой параболу. Многочлены третьей, четвертой и пятой степени называются соответственно кубическим уравнением, уравнением четвертой степени, уравнением пятой степени и т.д. Графики много­членов третьей степени и выше довольно сложны. Многочлены могут иметь лю­бое число элементов и любую степень, мы будем работать только с линейными уравнениями, т.е. многочленами первой степени. Решить систему линейных уравнений можно с помощью процедуры Гаусса-Жордана, или, что то же самое, метода гауссовского исключения. Чтобы использовать этот метод, мы должны сначала создать расширен­ную матрицу, объединив матрицу коэффициентов и столбец свободных чле­нов. Затем следует произвести элементарные преобразования для получения единичной матрицы. С помощью элементарных преобразований мы получаем более простую, но эквивалентную первоначальной, матрицу. Элементарные преобразования производятся посредством построчных операций (мы опи­шем их ниже). Единичная матрица является квадратной матрицей коэффициентов, где все элементы равны нулю, кроме диагональной линии элементов, которая начинает­ся в верхнем левом углу. Для матрицы коэффициентов «шесть на шесть» единич­ная матрица будет выглядеть следующим образом:

1	0	0	0	0	о
0	1	0	0	0	о
0	0	1	0	0	о
0	0	0	1	0	о
0	0	0	0	1	о
0	0	0	0	о	1

Матрица, где число строк равно числу столбцов, называется квадратной матри­цей. Благодаря обобщенной форме задачи минимизации V для данного Е, мы все­гда будем иметь дело с квадратными матрицами коэффициентов. Единичная матрица, полученная с помощью построчных операций, эквива­лентна первоначальной матрице коэффициентов. Ответы для нашей системы уравнений можно получить из крайнего правого вектора-столбца. Единица в пер­вой строке единичной матрицы соответствует переменной X,, поэтому значение на пересечении крайнего правого столбца и первой строки будет ответом для X₁ Таким же образом на пересечении крайнего правого столбца и второй строки со­держится ответ для Х₂ так как единица во второй строке соответствует Х₂ Ис­пользуя построчные операции, мы можем совершать элементарные преобразова­ния в первоначальной матрице, пока не получим единичную матрицу. Из единич­ной матрицы можно получить ответы для весов X₁ ... Х_N—компонентов портфеля. Найденные веса дадут портфель с минимальной дисперсией V для дан­ного уровня ожидаемой прибыли Е[26].

.

Можно проводить три типа построчных операций:

1. Поменять местами любые две строки.

2. Умножить любую строку на ненулевую постоянную.

3. Любую строку умножить на ненулевую постоянную и прибавить к любой другой строке.

С помощью этих трех операций мы попытаемся преобразовать исходную матрицу коэффициентов в единичную матрицу

В расширенной матрице проведем элементарное преобразование номер 1, ис­пользуя правило номер 2 построчных операций. Мы возьмем значение на пересече­нии первой строки и первого столбца (оно равно 0,095) и преобразуем его в едини­цу. Для этого умножим первую строку на 1/0,095. В результате, значение на пересе­чении первой строки и первого столбца станет равно единице. Остальные значения в первой сроке изменятся соответствующим образом.

Проведем элементарное преобразование номер 2. Для этого задействуем прави­ло номер 3 построчных операций (для всех строк, кроме первой). Предварительно для всех строк проведем элементарное преобразование номер 1, преобразовав чис­ло, стоящее в первом столбце каждой строки, в единицу. Затем все числа матрицы, кроме чисел первой строки, умножим на -1. После этого можно перейти к непос­редственному применению правила номер 3. Для этого прибавим первую строку к каждой строке матрицы: первое число первой строки прибавим к первому числу второй строки, второе число первой строки ко второму числу второй строки и так далее. После этого преобразования мы получим нули в первом столбце (во всех строках, кроме первой).

Теперь первый столбец уже является столбцом единичной матрицы. С помо­щью элементарного преобразования номер 3, используя правило номер 2 пост­рочных операций, преобразуем значения на пересечении второй строки и второго столбца в единицу. Посредством элементарного преобразования 4, используя правило номер 3 построчных операций, преобразуем в нули значения второго столбца (для всех строк, кроме второй).

Таким образом, с помощью правила номер 2 и правила номер 3 построчных операций мы преобразуем значения по диагонали в единицы и получим единич­ную матрицу. Столбец с правой стороны будет содержать решение.

Интерпретация результатов