Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

Таблица VIII
Система А	Система Б
Сделка	P&L	Сделка	P&L	Счет
Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 0,00 на балансе (показана 1 единица на каждые 4):
				100,00
-1	-12,50	2	25,00	112,50
2	28,13	-1	-14,06	126,56
-1	-15,82	2	31,64	142,38
2	35,60	-1	-17,80	160,18

Из этого раздела можно сделать два вывода. Первый состоит в том, что при од­новременных ставках или торговле портфелем существует небольшая потеря эффективности, вызванная невозможностью рекапитализировать счет после каждой отдельной игры. Второй заключается в том, что комбинирование ры­ночных систем, при условии, что они имеют положительные математические ожидания (даже если они положительно коррелированы), никогда не уменьшит ваш общий рост за определенный период времени. Однако когда вы продолжае­те добавлять все больше и больше рыночных систем, эффективность уменьша­ется. Если у вас есть, скажем, 10 рыночных систем, и все они одновременно не­сут убытки, совокупный убыток может уничтожить весь счет, так как вы не смо­жете уменьшить размер каждого проигрыша, как в случае последовательных сделок. Таким образом, при добавлении новой рыночной системы в портфель польза будет только в двух случаях: когда рыночная система имеет коэффициент корре­ляции меньше 1 и положительное математическое ожидание или же когда систе­ма имеет отрицательное ожидание, но достаточно низкую корреляцию с другими составляющими портфеля, чтобы компенсировать отрицательное ожидание. Каждая добавленная рыночная система вносит постепенно уменьшающийся вклад в среднее геометрическое. То есть каждая новая рыночная система улучшает среднее геометрическое все в меньшей и меньшей степени. Более того, когда вы добавляете новую рыночную систему, теряется общая эф­фективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. В неко­торой точке добавление еще одной рыночной системы принесет больше вреда, чем пользы.

Время, необходимое для достижения определенной цели, и проблема дробного f

Допустим, мы знаем среднее арифметическое HPR и среднее геометрическое HPR для данной системы. Мы можем определить стандартное отклонение HPR из формулы для расчета оценочного среднего геометрического:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

Поэтому мы можем рассчитать стандартное отклонение SD следующим образом:

Возвращаясь к нашей игре с броском монеты 2:1, где математическое ожида­ние 0,50 долларов и оптимальное f- ставка в 1 доллар на каждые 4 доллара на сче­те, мы получим среднее геометрическое 1,06066. Для определения среднего ариф­метического HPR можно использовать уравнение (2.05):

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

МО = арифметическое математическое ожидание в единицах;

f$= наибольший проигрыш/-f

f = оптимальное f (от 0 до 1).

Таким образом, среднее арифметическое HPR равно:

AHPR =1+(0,5/(-1/-0,25)) =1+(0,5/4) =1+0,125 =1,125

Теперь, так как у нас есть AHPR и EGM, мы можем использовать уравнение (2.04) для определения оценочного стандартного отклонения HPR:

=1,125 ^2- 1,06066 ^62

= 1,265625-1,124999636 =0,140625364

Таким образом, SD ^{^} 2, то есть дисперсия HPR, равна 0,140625364. Извлекая квад­ратный корень из этой суммы, мы получаем стандартное отклонение HPR =0,140625364 ^(1/2) =0,3750004853. Следует отметить, что это оце­ночное стандартное отклонение, так как при его расчете используется оце­ночное среднее геометрическое. Это не совсем точный расчет, но вполне приемлемый для наших целей. Предположим, мы хотим преобразовать зна­чения для стандартного отклонения (или дисперсии), арифметического и среднего геометрического HPR, чтобы отражать торговлю не оптимальным f, а некоторой его частью. Эти преобразования даны далее:

(2.07) FSD = SD * FRAC

(2.08) FGHPR= (FAHPR ^{^} 2 - FSD ^ 2) ^А^(1/2),

где FRAC = используемая дробная часть оптимального f;

АН PR= среднее арифметическое HPR при оптимальном f;

SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f;

FAHPR== среднее арифметическое HPR при дробном f;

FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f;

FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f.

Например, мы хотим посмотреть, какие значения приняли бы FAHPR, FGHPR и FSD в игре с броском монеты 2:1 при половине оптимального f (FRAC = 0,5). Мы знаем, что AHPR= 1,125 и SD = 0,3750004853. Таким образом:

=(1,125- 1)*0,5+ 1 =0,125* 0,5 + 1 = 0,0625 + 1 = 1,0625

(2.07) FSD = SD * FRAC

=0,3750004853*0,5 = 0,1875002427

= (1,0625 ^{^} 2 - 0,1875002427 ^2) ^{^} (1/2) = (1,12890625 - 0,03515634101) ^{^} (1/2) =1,093749909 ^ (1/2) = 1,04582499