Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

Рассмотрим теперь пример так называемого «логического», а не «семантического» парадокса. Наиболее известен он в своей естественно-языковой форме: «Деревенский брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами», однако, имеет и теоретико-множественную формулировку [Френкель, Бар-Хиллел, 1966]. Хорошо известно, что это выражение является не логическим парадоксом, а логически противоречивым определением22.

Смысл парадокса, по-видимому, не в логической противоречивости высказывания, а в чем-то еще. Френкель и Бар-Хиллел пишут «…это (логическое противоречие. – Я. Д., В. С.) мало способствует уменьшению парадоксальности полученного результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, отнюдь не кажущимся каким-то исключительным, а именно не содержащих себя в качестве элемента – пожалуй не менее противоречит здравому смыслу, чем прямое противоречие» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17].

Отметим в этом тексте критерий соответствия интуиции: «множество, состоящее в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию» и «не кажущемуся каким-то исключительным».

Вряд ли можно считать четко определенным условием «все множества, не содержащие себя в качестве элемента». Условие «несодержания себя» крайне слабое и опирается на семантически сомнительное использование одного и того же объекта актуально в двух взаимоисключающих ролях – части и целого. Что же касается «не кажущемуся чем-то исключительным», то это утверждение, по-видимому, следует принимать как признание того, что автор не видит этой сомнительности.

Далее в этой же работе подчеркивается: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики не было решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела». Этот пассаж следует рассматривать как ясное указание на то, что парадокс Рассела носит не логический, а семантический характер. Действительно, и в приведенном выше фрагменте, он рассмотрен как не соответствующее интуиции противоречие, что, пожалуй, говорит о неразработанности интуиции в этом вопросе, а не о пороках логики, иными словами об отсутствии необходимых семантических категорий для его понимания. Точно такую же критику мы наблюдали выше при рассмотрении «парадокса лжеца». Таким образом, вряд ли целесообразно разделять парадоксы на логические и семантические – все они, по нашему мнению, семантические, т.е. могут быть устранены разработкой семантики, что, однако, является задачей не формальной логики, исследующей формальные системы, а содержательной логики, вырабатывающей новые смыслы и правила работы с ними.

Для содержательной логики парадокс свидетельствует о необходимости выработки некоторых новых различений смысла. После того как такое различение выработано, построение формальной системы, учитывающей это различение, может быть осуществлено в духе принципа 1 и является технической задачей. Каковы бы, однако, ни были смысловые различения в рамках логической семантики, лежащей в основе некоторой формальной системы, могут найтись выражения не интерпретируемые в рамках этой семантики, т.е. воспринимаемые как парадокс. Такие случаи должны служить побудительным мотивом не просто для построения новых формальных систем, в которых подобные парадоксы не появляются, но и, главным образом, для прояснения и уточнения семантики понятий, на которой строится парадокс. Без разработки новой семантики оперирование с формальными системами превращается в некий род «гадания», т.е. в средство стимулирования интуиции.

Мы видим, таким образом, что на первый план в исследованиях по формальной логике выдвигается вопрос о зависимости доказательных возможностей формальной системы от ее выразительных средств, т.е. от ее базисной семантики и эксилицированных в рамках построенного формализма различений смысла.

Парадоксы логического вывода

Мы можем констатировать, что в основе построения формальной логики лежит идея, состоящая в том, что строгость в рассуждениях может быть достигнута упрощением семантики и неполным различением используемых смыслов, но скомпенсированных механичностью вывода. При этом под правилами вывода понимаются правила знаковой подстановки.