Метод. Московский ежегодник трудов из обществоведческих дисциплин. Выпуск 4: Поверх методологических границ

Представляет интерес на нескольких примерах проанализировать с семиотической точки зрения функционирование формально-логических систем. Рассмотрим фрагмент текста работы Гильберта и Аккермана, в котором вводятся аксиомы узкого исчисления предикатов [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 97].

«К этим аксиомам мы присоединим теперь в качестве второй группы две аксиомы для “все” и “существует”»:

e) (x) F (x)->F (y);

f) F (y) -> (Ex) F (x).

Первая из этих аксиом означает «Если предикат F выполняется для всех x, то он выполняется также для любого y».

Вторая формула читается так: «Если предмет F выполняется для какого-нибудь y, то существует x, для которого выполняется F».

Этот текст особенно интересен по следующим причинам:

1. В нем вводятся аксиомы.

2. Поясняется их естественно-языковое содержание, т.е. вводится способ понимания знаковой системы.

По замыслу основателей математической логики «…чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].

Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.

Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:

знак F (y) в формулах e) и f) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) – F выполняется для любого y. В f) F выполняется для какого-нибудь y.

По-видимому, различение этих смыслов связано с местом F (y) в формулах – в одном случае – на месте консеквента, в другом – на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.

Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под x и y. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а y – актуальный.

Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.

К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.

В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].

«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).

r (отношение ранга I); ¬)(отрицание).

Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.

Ярлык любого выражения Р – это *Р* (Р в кавычках).

Экспонат любого выражения Р – это Р *Р* («вещь с ярлыком»).

Формулы – это выражения вида r E… E *P* и ¬ r E … E *Р*.

Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:

r Е^к *Р* или ¬ r Е^к *Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно:

1. Ярлык Р является именем Р.

2. Если Р – имя Q, то ЕР – имя экспоната Q, т.е. имя выражения Q *Q*».

После этих определений утверждается, что «Е*Е* является одним из двух своих имен. Точно так же формула r Е* r Е говорит о самой себе» [Манин, 1979, с. 79]. Язык SELF представляется в семиотическом плане намного более продвинутым, чем формальный язык узкого исчисления предикатов. Он эксплицирует ряд семиотических различий, позволяющих описывать весьма тонкие логические конструкции.

Семиотический анализ приведенного текста, однако, немедленно выявляет тот факт, что символ Е в этом языке употреблен в двух совершенно различных смыслах:

1. Как семиотический оператор действующий на имя, т.е. выражение *Q*, и превращающий его в Е *Q* – имя экспоната Q в соответствии с (b)).

2. Как индивидуум, являющийся «отмеченным выражением» (его можно заключать в скобках).

Ясно, что в первом смысле Е как семиотический оператор является элементом метатекста, а во втором смысле – элементом текста.