Миметика глупости

В частности, если событие А, зависящее от события В, существенно более вероятно, чем событие В, то Р(A/В) существенно больше, чем Р(В/А). Рассмотрим, например, данные американской статистики потребления наркотиков (Dawes, R. M. Rational choice in an uncertain world. San Diego, CA: Harcourt Brace Jovanovich, 1988). Широко распространено мнение, что курение марихуаны ведёт к дальнейшему потреблению тяжёлых наркотиков. Основанием является тот факт, что люди, принимающие тяжёлые наркотики, по большей части курили до этого марихуану. Однако большинство куривших когда-либо марихуану не принимают тяжёлых наркотиков. Условная вероятность события «курить марихуану» существенно больше условной вероятности события «принимать тяжёлые наркотики», или Р(курить марихуану/принимать тяжёлые наркотики) существенно больше, нежели Р(принимать тяжёлые наркотики/курить марихуану). Вот данные исследования студентов.

Принимают тяжёлые наркотики

Не принимают тяжёлые наркотики

Курили марихуану

50

950

Не курили марихуану

10

2000

Очень небольшое количество студентов (60 из 3010, то есть менее чем 2%) принимают тяжёлые наркотики, однако 33% студентов курили марихуану. Вероятность того, что принимающие тяжёлые наркотики курили до этого марихуану, высока:

Р(курить марихуану/принимать тяжёлые наркотики) = 50/60 = 0,83

Тем не менее, вероятность того, что курившие марихуану будут затем принимать тяжёлые наркотики, достаточно низка:

Р(принимать тяжёлые наркотики/курить марихуану) = 50/1000 = 0,05

Как мы видим, распространённые мнения не всегда соответствуют реальности. Однако неправильное понимание условной вероятности может быть гораздо более драматичным (Stanovich, Keith E. Decision Making and Rationality in the Modern World. New York, Oxford. Oxford University Press. 2010). Большинство больных и, что более существенно, большинство врачей считают, что вероятность наличия болезни при появлении определённого симптома равна вероятности появления этого симптома при наличии той же самой болезни.

Предположим, что Вы сделали тест на раковое заболевания и тест был положительным. Далее Вы узнаёте, что тест точно диагностицирует 90% случаев из 100, то есть, в 90 случаев из ста, когда тест даёт положительный результат, человек наверняка болен раком. Наверняка полученное известие Вас не обрадует, мягко говоря. Но вероятность того, что Вы действительно больны раком, составляет примерно 15%! Как такое может быть при девяностопроцентной точности теста? Разберёмся в этом вопросе подробнее.

Предположим, что в исследовании, на котором базируется этот тест, приняли участие 1000 человек, и 100 из них были больны раком. Тогда результаты выглядит следующим образом:

Больны раком

Не больны раком

Тест позитивный

90

500

Тест негативный

10

400

Вы видите, как работает тест с 90% надёжностью — из ста больных раком положительные результаты получили 90 человек. Однако не эти данные важны для Вас. 90% показывают вероятность для тех, кто болен раком Р(позитивный результат/рак). Для Вас интересна другая вероятность Р(рак/позитивный результат) — вероятность того, что тест показал позитивный результат у не больных раком. Эта вероятность достаточно мала — 90 / 590 = 15,3.

К сожалению, подобные случаи нередки в реальной врачебной практике, в результате — ненужная мастэктомия или другие операции, химиотерапия и т. п. Что это означает для больного…

Очень часто в жизни независимые события воспринимаются как зависимые. Представьте себе, что мы подбрасываем монету. Как Вы знаете, вероятность выпадения орла или решки равна 0,5. Мы подбросили монету уже пять раз и все пять раз выпадал орёл. Мы подбрасываем монету в шестой раз и Вы думаете:

а. вероятность выпадения орла больше, чем вероятность выпадения решки;

в. вероятность выпадения решки больше, чем вероятность выпадения орла;

с. вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки;

Какой ответ выбрали Вы?

«Однорукие бандиты» — игральные автоматы — позволяют выигрывать игроку примерно один раз из десяти. Митрофан сыграл всего три раза и все три выиграл. Каковы шансы Митрофана выиграть четвёртый раз подряд?

Обе эти задачи относятся к так называемому «заблуждению игрока». Особенно наглядно оно проявляется при игре в рулетку. Если предположить для простоты, что половина номеров на игорном столе чёрная, а половина — красная, то вероятность выпадения красного или чёрного равна 0,5. Тем не менее, сознайтесь себе, будете ли Вы ставить на красное, если оно уже выпадало десять раз подряд? Большинство в этой ситуации предпочитают переключиться на чёрное. Но ведь вероятность не изменилась, она по-прежнему равна 0,5! Предыдущие выпадения красного никак не влияют на вероятность выпадения красного или чёрного в следующий раз.