Многоликий солитон

Ясно, что у этой системы уравнений относительно неизвестных y₁ и y₂ есть неинтересное решение y₁ = y₂ = 0. Пусть y₁  0. Тогда, выражения y₂ через y₁ из первого уравнения и подставляя полученное выражение во второе уравнение, найдем, что должно выполняться условие

Так как y₁ 0, то выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю *). Решая квадратное уравнение для ω², определяем два возможных значения частоты

^{*) Если хотя бы в один момент времени y₁  0, то множитель в квадратных скобках, не зависящий от времени, должен обращаться в нуль.}

Если ω = ω₁, то из уравнений (5.2) следует, что y₂ = y₁. Если ω = ω₂, то y₂ = -y₁. Вспомним теперь, что y₁ и y₂ подчиняются уравнениям = -ω²y_n, которые определяют их гармоническую зависимость от времени. При ω = ω₁ = ω₀ можно поэтому записать решение в виде

y₁ = y₂ = А₁ cos [ω₁ (t - t₁)], (5.5а)

а при ω = ω₂ =  — в виде

y₁ = -y₂ = А₂ cos [ω₂ (t - t₂)]. (5.5б)

Здесь A₁ и А₂ — произвольные амплитуды, а t₁ и t₂ — произвольные значения времени, определяющие фазу колебаний.

Эти два решения и дают две возможные моды колебаний нашей простейшей системы (рис. 5.4).

Они соответствуют двум нашим модам колебаний резинки, изображенным на рисунке штриховыми линиями. Конечно, это соответствие несколько условно, но, согласитесь, от карикатуры, сделанной двумя точками, нельзя требовать большего! Теперь можно снова воспользоваться линейностью уравнений (5.1) и написать решение в виде суммы решений (5.5а) и (5.5б):

Это движение уже не сводится к простому гармоническому колебанию каждой из частиц. В общем случае, т. е. при произвольных значениях А₁, А₂, t₁, t₂, движение системы не будет даже периодическим.

^{Упражнение: рассмотрите простой случай, когда А₁ = А₂ = 1, t₁ = t₂ = 0, и покажите, что из-за несоизмеримости частот ω₁ и ω₂ не существует такого значения Т, при котором y₁(Т) = y₁(0), y₂(Т) = y₂(0). Это и означает, что такое движение не может быть периодическим.}

Ясно, что формулы (5.6) дают самое общее движение. Начальное состояние определяется координатами и скоростями частиц, т. е. значениями y₁(0), y₂(0), . Формулы (5.6) и их производные по времени позволяют найти неизвестные константы А₁, А₂, t₁, t₂ через начальные координаты и скорости.

Замечательно, что нам удалось не только найти самое общее движение, но и разложить его на сумму самых простых из известных нам движений.

Конечно, в такой простой задаче то же самое можно было бы сделать и более простым способом. Например, если сложить и вычесть уравнения (5.1), то легко получить два независимых уравнения для (y₁ + y₂) и (y₁ - y₂), которые сразу решаются и приводят к формулам (5.6).

Однако наш чуть более длинный способ решения имеет преимущество — он легко обобщается на случай цепочки с любым числом частиц.

_{В качестве упражнения найдите частоты трех мод колебаний цепочки, состоящей из трех частиц. Для частот должен получиться результат:  . Сами моды выглядят, как показано на рис. 5.5. Точный смысл этого рисунка (как и рис. 5.4) состоит в том, что моду с номером М можно представить в виде}

^{При заданном М = 1, 2, 3 индекс n пробегает три значения: n = 1, 2, 3, т. е.  задает отклонение n-гo грузика в М-й моде. В случае двух частиц отклонения для двух мод можно написать в аналогичном виде}

^{где М = 1, 2 и n = 1, 2.}

Общую закономерность теперь нетрудно уловить и она наглядно ясна — нарисованные штрихами синусоиды соответствуют стоячим волнам. Легко также догадаться, что в цепочке из N частиц моду с номером М надо искать в виде

Уравнение движения для n-гo атома составляется точно так же, как уравнения (5.1), т. е.

Это уравнение годится и для крайних атомов — первого и N-гo. Нужно только вспомнить, что крайние пружинки закреплены, т. е. у₀ = y_N+1 = 0. Эти условия для предполагаемых решений (5.7) уже выполнены. Теперь должно быть ясно, как довести решение до конца. Надо подставить выражение (5.7) в уравнение (5.8) и заменить на -ω²_My_n^(М). После несложных преобразований тригонометрических функций получится соотношение для ω²_M, при выполнении которого все уравнения (5.8) удовлетворяются; это выражение мы приведем без вывода