Многоликий солитон

Очень ясно и как всегда образно сказал о тонкости понятия групповой скорости Л. И. Мандельштам в курсе лекций 1944 г., который он уже не смог закончить. «Скорость — понятие, возникшее при описании движения частицы. Оно является совершенно ясным и имеет смысл при том условии, что существует возможность отождествления частицы, т. е. в любой точке пространства мы можем утверждать, что это та же самая частица. При распространении волны мы имеем дело с перемещением не частицы, а состояния. Чтобы говорить о скорости, нужно иметь возможность и средства для отождествления состояния. В среде без дисперсии... всякое возмущение распространяется без изменения формы, поэтому возможность отождествления здесь очевидна. Но в среде с дисперсией возмущение по мере распространения деформируется, и здесь уже нельзя без дальнейшего обсуждения сказать, чему равна скорость. Нужно сначала определить, что мы в каждом таком случае будем называть скоростью распространения. Например, для движения облака нет однозначного понятия скорости. Это может быть и скорость края облака. Примерно так же обстоит дело и со скоростью возмущения.

То, что было найдено нами, относится к скорости распространения «переменной амплитуды», и эта скорость (групповая) имеет смысл только при условии неизменности группы при ее перемещении. В диспергирующей среде такой неизменности нет *), но при выполнении условий, о которых мы говорили (достаточно медленное изменение амплитуды, т. е. малое ее изменение на длине волны, и достаточно пологий ход дисперсии), деформация группы также происходит медленно, и тогда для не слишком больших расстояний понятие групповой скорости приближенно описывает распространение группы. Во всяком случае всегда, когда есть дисперсия, понятие скорости теряет однозначность. Можно по-разному определить скорость, и одно из определений... это — групповая скорость».

_{*) Здесь Мандельштам подразумевает, что группа изолирована от других, вроде солитона. Последовательности групп, рассмотренные нами (по Рэлею), сохраняют свою форму.}

При определении скорости отдельного свободно бегущего солитона никакой неоднозначности нет. Солитон — не облако! Солитон, в отличие от группы волн в диспергирующей среде, сохраняет форму, и его скорость можно определить точно так же, как скорость обычной частицы (пока он не сталкивается с другими солитонами или с препятствиями). Что же происходит с гармониками, на которые можно разложить солитон? О таком разложении можно говорить лишь приближенно, пока нелинейность, приводящая к взаимодействию между гармониками, достаточно мала. Если при этом мала и дисперсия, то может случиться, что энергия «перекачивается» от гармоник, бегущих с большей скоростью, к более медленным гармоникам. Если такая перекачка уравновешивает деформацию, вызванную дисперсией, то может возникнуть солитон. Примерно так можно представлять себе солитон Рассела и некоторые другие солитоны.

Сколько энергии в волне

Прежде чем окончательно заняться солитонами, мы должны ответить на еще один вопрос. Что такое энергия волн и что с ней происходит при распространении волн или групп волн? Как находить энергию волны, легко понять на модели грузиков и пружин. Энергия складывается из кинетической энергии грузиков и потенциальной энергии пружин. Для каждой заданной волны эту энергию нетрудно вычислить. Если речь идет о периодической волне, то энергией ее естественно называть полную энергию, сосредоточенную на одном ее периоде, т. е. для синусоидальной волны на ее длине. Энергия волнового импульса, энергия ограниченной группы волн или энергия солитона определяется как энергия возбужденной части среды. В этом случае предполагается, что возбуждение быстро убывает на больших расстояниях от «центра» импульса или группы, так что полная энергия конечна (не обращается в бесконечность).

Вычислим для примера энергию длинной волны в пружинной модели Ньютона (рис. 5.1). Она составлена из кинетической энергии грузика Т и потенциальной энергии пружин U, которые легко вычислить. Кинетическая энергия n-го грузика равна . Если по цепочке бежит волна с амплитудой А и длиной λ, то

Энергия, приходящаяся на длину волны, не зависит от момента, в который мы ее вычисляем. Вычислим поэтому энергию в момент t = 0. Так как λ α, то можно положить λ, = Nα, где N — большое целое число. Тогда кинетическая энергия n-го грузика равна

а энергия N грузиков, приходящихся на длину λ, равна сумме этих энергий. Сумму легко вычислить, вспомнив формулу для косинуса двойного угла, из которой следует, что 2cos²(2πn/N) = 1 + соs(4πn/N). Так как сумма членов соs(4πn/N) равна нулю (докажите!), то для кинетической энергии находим

где ρ₁ = m/α — линейная плотность цепочки.