Многоликий солитон

Чтобы понять роль поверхностного натяжения, предположим, что влиянием силы тяжести можно пренебречь. Тогда возвращающая сила определяется только поверхностным натяжением. Какой будет скорость таких волн? Обратимся к испытанному средству — размерностям. Поверхностное натяжение определяют энергией, которую нужно затратить для увеличения площади поверхности на единицу. Эту величину обозначают буквой Т (от англ. tension — натяжение). Для чистой воды Т  0,072 Дж/м². Кроме величины Т длина волны может зависеть от плотности ρ и от длины волны λ. Амплитуду будем считать столь малой, а глубину столь большой, что зависимостью скорости от этих величин можно пренебречь. Действуя по обычной схеме, находим, что v² = 2πТ/ρλ. Коэффициент 2π размерностями, конечно, не определяется, мы его взяли из точной теории, разработанной Кельвином (1871 г.). Волны поверхностного натяжения, или капиллярные волны (напомним, что натяжение вызывает подъем жидкостей по капиллярам), бегут быстрее при меньшей длине волны. Иными словами, если воспользоваться оптической терминологией, их дисперсия аномальна.

Наличие поверхностного натяжения приводит, как показал Кельвин, к очень интересному следствию — волны на глубокой воде не могут распространяться с очень малой скоростью, иными словами, существует нижняя граница для v (λ). Это можно понять с помощью довольно простых рассуждений. Легко подметить, что квадрат скорости волны пропорционален возвращающей силе (коэффициенту упругости k для пружин, натяжению F для струны и т. д.).

Если на частичку воды действуют одновременно две возвращающие силы — тяжести и поверхностного натяжения, то надо просто сложить их.

При этом скорость волны с учетом обеих сил определяется выражением

График зависимости v от λ изображен на рис. 5.8. Скорость v(λ) минимальна, когда сила тяжести уравновешивается поверхностным натяжением, т. е. когда оба слагаемых в написанном выражении для v² равны. Из этого условия находим λ_мин = 2π для чистой воды λ_мин 17 мм. При λ  =  λ_мин  скорость равна v_мин =  23 см/с. Формулу v²(λ) можно переписать в более приятной для глаза и удобной для вычислений форме

Капиллярные волны в виде мелкой ряби на поверхности воды хорошо всем знакомы. Их можно наблюдать в тазу, наполненном водой, пуская с небольшой высоты капли воды из пипетки. При увеличении высоты длина волны возникающих волн увеличивается. Можно убедиться, что короткие волны чисто капиллярные, а длинные — нет. Для этого добавьте в воду немного мыла. Поверхностное натяжение уменьшится, а с ним уменьшится и скорость коротких волн. Скорость же длинных волн останется прежней.

С какой скоростью бежит стая волн

В опытах наблюдаются, конечно, не бесконечные синусоидальные волны, а группы или, как сказал бы Рассел, стайки волн. Первые систематические наблюдения групп волн и были сделаны Pacceлом. Он заметил, что скорость перемещения стайки в целом меньше, чем скорость отдельных волн. При наблюдении кажется, что волны продвигаются сквозь группу, как бы исчезая на передней ее границе. Это явление объяснил в 1876 г. Стокс, который и ввел понятие групповой скорости *). Год спустя к этой проблеме вернулся Рэлей. Он нашел, как групповая скорость зависит от дисперсии, и получил формулу, которую мы сейчас выведем.

_{*) Впервые это понятие для волн в дискретной решетке ввел Гамильтон, рассказавший о своей работе на заседании Ирландской академии в 1839 г. и опубликовавший два кратких сообщения. В его бумагах, найденных и опубликованных 100 лет спустя, содержалась очень подробно разработанная теория групповой скорости таких волн.}