Многоликий солитон

Это выражение описывает и стоячие волны в упругом стержне. При этом λ_М принимает значения λ_М = 2l/M, где M может неограниченно возрастать (М = 1, 2, 3, ...). Значения частот получаются из дисперсионной формулы (5.16), если заменить в ней sin (πα/λ) на πα/λ (вспомните, что в пределе непрерывной среды α → 0):

Аналогичные формулы читатель легко напишет для частот собственных колебаний струн, воздуха в органных трубах и т. д.

Как «услышать» разложение Фурье?

Рояль был весь раскрыт и струны в нем дрожали...

А. Фет

Можно проверить, что функции y_M(t, х) в формуле (5.18) удовлетворяют волновому уравнению. Линейные комбинации таких решений также являются решениями. Этот способ решения волнового уравнения открыл еще Даниил Бернулли (метод Бернулли), но лишь Фурье сумел с полной ясностью доказать, что так можно получить самое общее решение и что в этом смысле метод Бернулли равносилен методу Д'Аламбера. Разложение произвольного колебания струны в сумму мод (5.18) и другие подобные разложения (например, разложение бегущей волны на сумму синусоидальных бегущих волн) называются разложениями Фурье. Если периодическая функция f(х) с периодом 2l (т. е. f(х + 2l) = f(х) при любом х) представлена в виде суммы

то легко проверить, что д'аламберова волна (5.10) при g(х) = f(х) представляется в виде суммы мод (5.18), в которой следует положить ω_M = 2πv/λ_M.

Обычно амплитуды А_M быстро убывают с ростом номера моды М. Рассмотрим, например, движение струны, оттянутой в средней точке и после этого отпущенной. Так возбуждаются колебания струн щипковых инструментов. При этом «звучат» все моды *), но их амплитуды быстро убывают с ростом частоты. Ухо воспринимает как высоту звука частоту, соответствующую низшей (основной) моде, а примесь высших мод определяет тембр. Звуки, вызванные очень высокими модами, не воспринимаются по двум причинам. Во-первых, их амплитуда мала. Во-вторых, ухо просто «не слышит» частоты больше 20 кГц (это, кстати, объясняет бедность тембра высоких звуков.)

_{*) Синусоидальные моды часто называют гармониками, что особенно естественно, если речь идет о музыке. Мы называем гармониками только синусоидальные бегущие волны, так что разложение Фурье для стоячей волны — это разложение на нормальные моды, а для бегущей — разложение на гармоники.}

Таким образом, о высших модах часто можно просто забыть и с легким сердцем пользоваться разложением Фурье с конечным и даже небольшим числом членов. Разложение бегущей волны на простые гармоники с полным основанием можно рассматривать не просто как математическое изобретение, а как физический процесс, который наблюдается постоянно. Этот процесс называется гармоническим анализом, а проборы, которые его осуществляют, называют гармоническими анализаторами. Они откликаются (резонируют) **) на гармоники, частота которых близка к одной из собственных частот (т. е. к частоте одной из мод). Таким образом можно выяснить частотный состав произвольного колебания. Простейшие анализаторы звука — монохорд или же просто струны любого музыкального инструмента. При достаточной силе звука они начинают дрожать и даже звучать, если среди набора частот (или, как говорят, в спектре частот) падающей на них звуковой волны есть достаточно сильная составляющая, частота которой совпадает с их собственной частотой.

_{**) От лат. sonare — звучать, resonare — звучать в ответ, откликаться. Отсюда же «соната».}

Как мы знаем, в среде без дисперсии волна с небольшой амплитудой распространяется, не изменяя формы. На языке разложения на гармоники это связано с тем, что все ее простые гармонические составляющие распространяются с одинаковой скоростью. Это можно сказать не только об обычных периодических волнах, но и об импульсах, подобных изображенным на рис. 5.3. Как показал Фурье, такие импульсы тоже можно разложить в ряд по гармоникам. Только при этом в разложении Фурье будут содержаться гармоники с неограниченно возрастающей длиной волны.