Многоликий солитон

Отсюда следует, что y_n-1(t) = y_n(t + Δt) и y_n+1(t) = y_n(t - Δt) (рис. 5.7). Если рассматривать y_n(t) как график движения некоторой точки, то (t) будет скоростью, а (t) — ускорением точки. Приближенно считая движение от момента t - Δt до момента t + Δt равномерно ускоренным, можно написать

Подставляя полученные таким способом выражения для y_n-1(t) и y_n+1(t) в уравнение (5.8), находим, что [m - k(Δt)²](t) = 0. Отсюда следует, что (Δt)² = m/k (предполагается, конечно, что в какой-нибудь момент времени   0). Для скорости волны v = α/Δt находим поэтому выражение

Чтобы найти скорость распространения упругих волн (т. е. скорость звука) в реальных твердых телах, надо еще немного преобразовать формулу . В таком виде она, на первый взгляд, зависит не только от вещества, из которого изготовлен стержень, но и от его поперечного сечения S. Действительно, линейная плотность равна произведению обычной объемной плотности ρ на поперечное сечение: ρ₁ = ρ • S. Однако упругая постоянная К численно равна силе, необходимой для увеличения длины стержня в два раза (F = К (Δl/l) = К, если Δl = l; при реальном измерении К, естественно, рассматривается лишь малое относительное удлинение Δl/l и К определяется как отношение силы F к вызванному ею относительному удлинению). Ясно, что эта сила пропорциональна площади S, и поэтому К = Е • S, где величина Е уже не зависит от S, а определяется лишь материалом, из которого сделан стержень.

Эту постоянную Е называют модулем Юнга. Значения модуля Юнга и объемной плотности для различных материалов измерены на опыте, и их можно найти в справочниках. Например, для стали ρ = 7,8 г / см³, Е  2,1 • 10¹² г/(см • с²). Выражая ρ₁ и К через ρ и Е, находим скорость звука в стали v =   5 км/с. Это неплохо согласуется с прямыми измерениями.

Подумайте, как их можно было бы осуществить. Ясно, что легче измерять не скорость, а длину волны . При 10 кГц получаем λ 50 см.

Как измерили скорость звука

До конца XVIII в. думали, что звук в твердых телах передается мгновенно. Первое измерение скорости звука в твердых телах по отношению к скорости в воздухе выполнил в 1797 г. немецкий ученый Эрнст Хладни (1756—1827). Он же провел первые точные и тщательные измерения скорости звука в различных газах, пользуясь для этой цели органными трубами. Хладни получил юридическое образование, а естественные науки изучал самостоятельно. Под влиянием чтения сочинений Бернулли и Эйлера он заинтересовался акустикой и начал изучать звучащие пластинки, в результате чего открыл прославившие его «звуковые фигуры» *). Фигуры Хладни образуются на посыпанных песком колеблющихся пластинках (песок собирается в узлах стоячих волн).

_{*) Первым сумел сделать звуковые колебания «видимыми» Галилей. Он поместил бокал в воду так, чтобы края его немного выступали над поверхностью. При возбуждении в бокале звуковых колебаний около него на поверхности образуется радиальная рябь поверхностных волн.}

Хладни также открыл продольные и вращательные колебания в стержнях, открыл и изучил многие акустические колебательные явления, изобрел несколько музыкальных инструментов, на которых сам играл. Его опыты, всегда отличавшиеся изобретательностью и остроумием, заложили основы экспериментальной акустики, и ему принадлежит первое систематическое изложение акустики, выпущенное в свет в 1802 г. Под впечатлением обаяния личности Хладни, его лекций и опытов, Наполеон выделил 6000 франков для перевода его «Акустики» на французский язык.

Скорость распространения звуковых волн можно оценить и просто из соображений размерности. Так как механизм распространения волн нам уже достаточно понятен, нетрудно сообразить, что скорость звука в стержне зависит лишь от модуля Юнга Е, плотности ρ и, может быть, от длины волны λ: v = d•Е^аρ^Ьλ^с. Так как [Е] = ML^-1Т^-2, [ρ] = ML^-3, [λ] = L и [v] = LТ^-1, то а = -b = 1/2, с = 0, т. е. v = d , где d — неизвестное число (как показано выше, из формулы (5.14) следует, что d = 1).

Любопытно, что простые соображения размерности показали, что скорость звука не может быть пропорциональна какой-нибудь степени. Это значит, что дисперсию (т. е. зависимость скорости от длины волны) из простых соображений размерности получить нельзя. Заметим также, что мы не учли зависимость v от амплитуды колебаний. Это представляется разумным для малых амплитуд, когда эффектами нелинейности можно пренебречь (ср. с формулой (4.1)).