Многоликий солитон

_{*) Первое точное измерение скорости звука в воздухе было сделано в коллективной работе членов Парижской академии наук в 1738 г. Измерялось время, за которое звук пушечного выстрела проходит 30 км. Чтобы исключить влияние ветра, выстрелы производились одновременно из двух пушек, удаленных друг от друга на 30 км.}

Правильное объяснение этому расхождению нашел Лаплас, заметивший, что при прохождении звуковой волны температура воздуха в местах сгущения и разрежения различна, и законом Бойля—Мариотта пользоваться нельзя. Вместо этого Лаплас предположил, что изменения состояния газа в звуковой волне происходят столь быстро, что тепло не успевает передаваться от нагревшихся сжатых участков к охладившимся разреженным, т. е. процесс происходит адиабатически **). Правильность его объяснения оспаривалась еще лет тридцать. Тем не менее общая теория волновых процессов уже в начале века твердо стояла на ногах и быстро завоевывала новые области для своих приложений.

_{**) См. книгу: Смородинский Я. А. Температура. — 2-e изд.— М.: Наука, 1987. — Библиотечка «Квант», вып. 12.}

Особенно важно это было для волновой теории света. В работах Френеля волновая теория была настолько основательно разработана, что успешно объясняла не только явления, известные до ее победы, но и подсказывала новые. Единственная неудача постигла волновую теорию в объяснении явлений дисперсии света. Как и в теории звука, в оптике Френеля скорость волны могла изменяться в разных средах, но зависимости скорости от длины волны в одной среде не получалось. Пуассон даже после описанных в ч. 1 опытов сомневался в правильности теории Френеля. Его главное возражение как раз было связано с проблемой дисперсии. В ответе Пуассону Френель указал на молекулярную структуру вещества как на возможный источник дисперсии. К сожалению, ранняя смерть не позволила Френелю развить эту идею, но ее подхватил Коши.

Дисперсия волн в цепочке атомов

Связь дисперсии с атомной структурой проще всего понять в нашей пружинной модели. Хотя при этом речь идет о звуковых, а не о световых волнах, суть дела одна и та же. Эту мысль и развил Коши. Найдем вслед за ним дисперсионную формулу для волн в цепочке «атомов», соединенных пружинками. Вспомнив то, что мы знаем о связи дискретной цепочки со сплошным стержнем, попробуем сразу написать решение всех уравнений (5.8) в виде бегущей волны ():

Если, как это делалось раньше, заменить nα на х и y_n(t) на y_n(t, х), то получится знакомая синусоидальная бегущая волна. Ее скорость v определяется из условия постоянства фазы (ωt - 2πх/λ). Поэтому скорость v называют фазовой скоростью. Если двигаться со скоростью v, то волна будет казаться неподвижной.

Так как = -ω²y_n, то из (5.8) следует простое уравнение

С помощью известной формулы для преобразования суммы синусов двух углов в произведение легко найти, что для синусоидальной волны y_n+1 + y_n-1 = .

Подставляя это в уравнение (5.15), легко увидеть, что оно выполнено сразу для всех n, если

Это и есть дисперсионная формула Коши. Если длина волны много больше расстояния между атомами, т. е. , то sin (πα/λ) πα/λ и ω  2πω₀(α/λ). При этом дисперсия исчезает, так как скорость не зависит от λ: v (λ) = ωλ/2π αω₀ = = v. Этот результат мы уже получили раньше при переходе к «непрерывному» пределу (см. формулу (5.14)). Если длина волны сравнима с расстоянием между атомами, то скорость зависит от λ:

С уменьшением λ она уменьшается. Заметим, что нет смысла рассматривать длины волн, меньшие 2α. Понять это легко, если вспомнить, что наблюдать мы можем лишь движения частиц, а не мысленно проведенные через их отклонения синусоиды (см. рис. 5.5). С учетом этого ограничения скорость убывает при уменьшении длины волны от значения v до значения (2v/π).

Дисперсионную формулу (5.16) можно получить и из найденного нами раньше выражения для частот стоячих волн в цепочке конечной длины l (см. (5.9)). Для этого заметим, что длина волны в моде с номером М равна λ_М = 2(N + 1)α/М = 2l/М, где М = 1, ..., N. Дисперсии не было бы, если бы соответствующие частоты ω_М были пропорциональны М. Как мы знаем, такой пропорциональности для больших М нет. Отсюда и возникает зависимость скорости v от λ при малых длинах волн и больших частотах. Выражая правую часть формулы (5.9) через λ_М, получаем соотношение Коши (5.16) между ω_М и λ_М.

Плавные синусоидальные кривые, огибающие стоячие волны (5.7), можно получить, заменив в формуле (5.7) nα на х: