Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.

Для удобства понимания на ней указаны имена звуков, но за каждым из них – Число! (по-«пифагоровски»). /ниже – таблица из книги: Волошинов М.В. «Математика и искусство»/

Рис. и пометки автора.

Да, как-то хитро запрятались квинты внутрь других звуков. И не распознаешь их с первого взгляда.

Кстати, ты заметил, что все числа – это частоты: числитель дробей больше знаменателя, «большее на меньшее», большее число в отношении к меньшему. У длин волн – наоборот: меньшее число в отношении к большему. Надеюсь, ты помнишь про этот перевёртыш/перекрёст.

Да и сам первый звук (прима) уже словно намекает на то, что предстоит увлекательная игра в перевёртыши: если частоту звука умножить на длину его волны, то и получится е д и н и ц а, начало отсчёта.

А если частоту квинты умножить на частоту её перевёртыша – частоту кварты, – получится октава (по частоте). Или перемножить длины волн квинты и её перевёртыша кварты, – будет октава по длине волны. Этакий расширенный, удвоенный перевёртыш.

Да и сама октава – удвоенная единица-прима: 2. Или поделённая пополам: ½.

( Опять – геометрическая прогрессия?!)

Прима – нижняя граница звукоряда. Октава – верхняя граница.

В середине – квинта и её перевёртыш кварта.

Рис. автора.

Да, по-видимому, Пифагор понял, что отношения между этими звуками и интервалы, которые образуются из их отношений, и должны стать ключом к поиску характеристик других звуков – их частот и длин волн.

Давай-ка ещё разочек обратимся к ленте частот.

О, этот долгий путь ко всеобщему консонансу и гармонии!

Рис. автора.

Путь получился долгим из-за того, что квинте пришлось вращаться-обращаться в кварту, и это вращение-обращение должно было прийти к консонансу в конце концов.

Отношения частот прямой квинты и её обращения кварты произвело на свет новое отношение и новый звук: 9/8.

9/8. Девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты.

В таблице – это звук РЕ. II ступень.

Рис. автора.

То же самое отношение получится, если перевернуть кварту и умножить этот перевёртыш на квинту. (Перевёртыш перевёртыша – просто голова крýгом!)

Рис. автора.

Если результат этой операции умножить на результат такой же операции (результат в квадрате), то есть 9/8 х 9/8, получим следующий звук.

9/8 х 9/8 = 81/64

Получилась частота МИ. III ступень.

Рис. автора.

Следующая ступень, IV, нам известна: кварта, 4/3.

Умножим 81/64 (ми) на 4/3 (фа): 81/64 х 4/3 = 27/16.

Это частота ЛЯ, VI ступень.

Её же можно получить, «воспользовавшись услугами» известной нам Vступени, квинты: умножить квинту 3/2 на тон 9/8. 3/2 х 9/8 = 27/16.

Рис. автора.

VII-ю ступень, СИ, мы получим, умножив частоту ЛЯ опять же на тон 9/8:

27/16 х 9/8 = 243/128

Рис. автора.

Между прочим, если мы и кварту 4/3 умножим на тон 9/8, то получим квинту: 4/3 х 9/8 = 3/2

…И все эти числа – реально звучат!

… А ты заметил, что ТОН/звук у нас теперь фигурирует и в качестве

р а с с т о я н и я между звуками?

Удивительно: ТОН – и сам звук, и в то же время – расстояние между звуками в октаве!

Может, это – из-за в о л н ы?

Ведь звуковая волна «пробегает» р а с с т о я н и е.

Вспомни ленту частот. Волне примы пришлось «пробежать» шесть своих расстояний, пока не свершился Великий Консонанс: созвучие примы, октавы, квинты и кварты.

А ведь прима – ТОН, с которого всё начинается, чтобы прийти к октаве. А шесть «пробежек» приме пришлось совершить из-за отношений квинты и кварты (перевёртыша квинты).

Вот так всё и сошлось: в октаве должно быть шесть тонов, а каждый тон выражает отношение между квинтой и квартой: девять кульминаций квинты к восьми кульминациям кварты – 9/8.

Да может быть, и сама октава (от греч. «окто» – «восемь») получила такое название из-за этих самых восьми кульминаций кварт!

Кварта (то есть квинта наоборот) «виновата»!

И даже отношение октавы (восемь её ступеней) к шести тонам указывает на эту «виновницу»! 8/6 = 4/3

…Вернёмся, однако, к сотворению октавы. Ещё не всё завершено в ней.

Тонов должно быть ш е с т ь, а у нас набирается пока что целых тонов всего пять:

Рис. автора.

Заметим попутно: тон между ФА и СОЛЬ назван р а з д е л и т е л ь н ы м.

Почему? А посмотри:

Рис. автора.

Вспомнил эту картинку? Квинта снизу вверх в октаве и её перевёртыш сверху вниз и образуют этот самый разделительный тон. И разделяют октаву на две кварты: ДО1-ФА и СОЛЬ-ДО2. Они одинаковы. И в каждой – по два целых тона и «остаток». Тоже одинаковый.

Существует несколько способов его вычислить.

Давай попробуем это сделать, исходя из той простой мысли, что «остаток» предполагает деление.

Итак, в кварте ДО1-ФА частоту ФА разделим на частоту соседнего МИ:

4/3:81/64 = 4/3х64/81 = 256/243

В кварте СОЛЬ-ДО2 частоту ДО2 разделим на частоту соседнего СИ:

2:243/128 = 2х128/243 = 256/243

Рис. автора.

Таблица, которую ты увидишь сейчас, – совершенно замечательная таблица!

Что в ней стóит заметить?

С одной стороны, она похожа на таблицу предыдущую.