Музыкальная геометрия мира: музыка и мы. Игра-эксперимент «Узел» в письмах к М.

Как это явление объясняют сами физики, ты сможешь прочитать в небольшой, но очень доступной для понимания и увлекающей своей живостью статье-эксперименте Сета Ллойда, профессора квантовомеханической инженерии (из книги Джона Брокмана «Теории всего на свете»). Статья «Истинная симметрия пространства» – на страничках ниже. А вот – цитата из статьи, об итоге эксперимента:

«…вы обнаружите, что траектория мяча походит на изображённую в пространстве восьмёрку или знак бесконечности (∞) и что траектория эта совершила не один полный поворот, а два. Таким образом, истинная симметрия пространства соответствует повороту не на 360˚, а на 720˚.»

Так выглядит начало статьи об истинной вращательной симметрии пространства. Статью полностью можно прочитать в книге.

Подобное явление можно обнаружить и в эксперименте на плоскости, с кругами: когда один круг совершает поворот вокруг своей копии (как самого себя же).

Посмотри и поэкспериментируй.

Мы экспериментируем на плоскости, которая служит нам сейчас в качестве проекции пространства (как плоские тени от объёмных предметов).

Синяя точка на рисунке отмечает начальное положение.

Когда круг А сам по себе в результате своего движения будет выглядеть так же, как он выглядит сам по себе на первом рисунке (с той же синей точкой справа), это будет означать, что он совершил поворот на 360˚ вокруг своего центра.

Начальное положение круга А:

Рис. автора.

Начинаем катить круг А по линии окружности другого круга:

Рис. автора.

Круг А выглядит так же, как в начале своего пути. Он совершил поворот на 360˚, но в начальное положение не вернулся. Ты можешь проверить это практически, вырезав круги из картона. Ты можешь о с я з а т ь этот геометрический процесс.

Катим круг А дальше:

Рис. автора.

Круг А повернулся ещё на 360˚ и вернулся в начальное положение.

Итого он совершил поворот на 720˚.В этом явлении удивительно вот что:

Обе начальные окружности (чёрная и круга А) совершенно одинаковы, с одинаковым количеством точек, из которых состоят. При движении круга А все точки его окружности должны были совпасть с точками чёрной окружности «точка в точку», – допустим, на каждый градус поворота – по точке. Но градусов поворота оказалось в два раза больше, – как будто у окружности круга А и точек в два раза больше.

Подобному явлению удивлялся и немецкий математик Георг Кантор, только по поводу графиков функции. Он удивлялся тому, что количество точек отрезка равно количеству точек квадрата. Только в случае с функцией две точки координат сливаются в одну точку функции. Этот пример – из книги В.Босса «Интуиция и математика». Кантор говорил, что его рассудок отказывается это принимать, но очевидность – убедительна.

Вообще, вся эта геометрическая картинка заставила вспомнить знаменитые эпициклы Птолемея. В его космической системе планеты двигались подобным образом. Знал ли Птолемей об истинной вращательной симметрии пространства? Тогда квантовой механики ещё не было… Система Птолемея, в конце концов, была отвергнута последующими поколениями астрономов, но до сих пор даже современных учёных удивляет точность, с которой эта система предсказывала явление планет, их движение на земном небосклоне.

А теперь просто посмотри на продолжение этой геометрической игры:

Если соединить точки вращения круга А…

Рис. и пометки автора.

Лист? Сердце?

А если почаще наносить точки вращения… (Ты можешь проэкспериментировать сам, с помощью кругов.)

Рис. автора.

Сердце? Яблоко?

Согласись, что музыкальная геометрия – геометрия нотного стана – выглядит намного компактнее. И весьма лаконично она даёт нам знать («нота» – «знать») об истинной вращательной симметрии пространства. К тому же – эта геометрия звучит!

Тайна 3.

На самом деле в этой тайне для нас нет ничего тайного. Нужно только суметь

у в и д е т ь некоторые отношения, пропорции в геометрии ключа – и всё!

Рисунки автора.

Дальше – чуть поинтереснее. Присмотрись.

Рис. автора.

Конечная точка большого завитка может указывать и на квинту, и на кварту.

А никакого страшного противоречия нет. Мы-то хорошо знаем, что кварта – это всего лишь перевёртыш квинты: как будто её отражение в зеркале, где правое и левое меняются местами.

В конце концов, нота СОЛЬ может быть не только квинтой До-мажора, но и до-минора; может быть квартой Ре-мажора и ре-минора.

Это всего лишь говорит о великих потенциальных возможностях ключа. По опыту ты знаешь, что в с е тональности пользуются его услугами!

Так что… как посмотреть. А «как посмотреть» – это значит выбрать систему отсчёта и как и что в ней соотносить. И это – принцип относительности.

Вот! В музыке тоже действует принцип относительности.

Тайна 4.

Геометрия в пространстве.

Возьмём Геометрию за ручку и выведем прогуляться в пространство.

Мы будем с нею играть. А как же!