Основания логики и метафизики

§ 8. Этот постоянный предел есть внутренний предел границы при бесконечной её делимости. В нём граница получает новое определение — отрицательное. Если граница, с одной стороны, представляет сочетание граничащих величин и переход их одна в другую, то с другой стороны, она представляет и их разделение.

§ 9. Отсюда новое определение количества как раздельного. В противоположность величине, которая есть непрерывное количество, способное увеличиваться и уменьшаться, раздельное количество есть число, постоянное сочетание единиц.

Глава 4. Число

§ 1. Элементы числа опять суть единство и множество, но здесь они определяются, как единица и счёт.

§ 2. Единица есть величина, взятая как единое, исключающее другое. Но и другое есть также единица, исключающая другие. А так как количество, по существу своему, безгранично, то раздельное количество полагается как состоящее из бесконечного множества единиц, равных друг другу, но исключающих одна другую.

§ 3. Это положение множества есть счет, то есть последовательное логическое шествие от единицы к единице с присоединением в уме одной к другой.

§ 4. Результат этого умственного процесса есть число, то есть определённое сочетание единиц.

§ 5. Состоя из единиц, число раздельно внутри себя, то есть представляет известный счёт единиц и этим счётом отличается от других. Следовательно, число есть величина, раздельная внутри себя и отдельная от других.

§ 6. Но счёт не ограничивается отдельным числом. Идя от единицы к единице, можно к данному числу единиц прибавлять новые единицы и образовать новые числа. Прибавляя таким образом единицу к единице, получаем ряд чисел, отличных друг от друга.

§ 7. Так как, по существу количества, единиц бесчисленное множество, то и ряд чисел, начиная с единицы, идёт в бесконечность.

§ 8. Эти умственные сочетания могут, в свою очередь, сочетаться и разделяться. Отсюда два основных действия, которые разум совершает с числами — сложение и вычитание.

§ 9. Эти два действия, в свою очередь, могут сочетаться двояким путём: посредством соединения и посредством разделения. Первое даёт умножение, второе — деление. Умножение соответствует числу; оно представляет счёт, но не единиц, а чисел: данное число берётся известное число раз, что и даёт известное сочетание единства и множества. Деление же есть показание счёта частей в целом числе, им определяется числовое отношение единства и множества.

§ 10. Но и сама единица как количество заключает в себе множество, следовательно, делима внутри себя. Отсюда дробь, которая, в противоположность целому числу, представляющему сочетание единицы и счета, представляет их отношение. Если число соответствует умножению, то дробь соответствует делению.

§ 11. Так как делимость количества идёт в бесконечность, то и счёт частей идёт в бесконечность: знаменатель дроби может увеличиваться по произволу. А с другой стороны, само целое, которое делится на части, не ограничивается единицей, а может представлять сочетание единиц, или число; следовательно, и оно идёт в бесконечность: числитель, как и знаменатель, увеличивается по произволу. Таким образом, и число дробей бесконечно.

§ 12. Будучи составлена из чисел, дробь представляет отношение чисел. Это отношение есть отношение целого к частям и само выражается числом, представляющим счёт частей. Это число есть показатель отношения.

§ 13. Но и отношение целого к счёту частей выражается дробью; тогда показатель выражает величину каждой части. Следовательно, показатель есть числовой выразитель отношения, элементы которого могут иметь разное значение.

§ 14. Как показатель отношения, он не зависит и от величины целого и частей; последняя может изменяться при сохранении тождества отношения. На этом основан закон пропорциональности.

Например, 2=4/2=6/3=8/4 и т. д.

§ 15. Отношения могут быть неравны. Но между неравными отношениями устанавливаются опять отношения, которые следуют тому же закону, то есть полагается тождество, не зависимое не только от изменения чисел, но и от изменения относящихся друг к другу отношений.

§ 16. Так как отношений может быть бесконечное множество, то и этот процесс идёт в бесконечность. Результат его состоит в положении тождественного с собой определения при бесконечно изменяющихся количественных сочетаниях.

§ 17. Этим самым полагается то основное отношение, которое лежит в существе количества. Количество есть соединение и разделение тождественного; но для лежащего в основании тождества количественное соединение и разделение суть чисто внешние. Это — два независимых друг от друга элемента. Эта независимость числительно выражается в том, что сохраняется тождество отношения при постоянно изменяющихся величинах.