Откуда мы знаем, что такое точка?

В частности, в силу введенного в формальной логике определения, условились считать истинными не только такие высказывания как «Если данное число делится на 9, то оно делится на 3», но и высказывания вида: «Если дважды два – четыре, то Волга впадает в Каспийское море», а также высказывания, составленные из таких пар, в которых первое из двух утверждений (посылка) ложно: «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Каспийское море»; «Если дважды два – пять, то Волга впадает в Аральское море».

Может показаться, что импликация (обычно обозначаемая стрелкой →) представляет собой безобидное непосредственное обобщение союза «если…, то…». Но тогда логические законы, справедливые для операции →, казалось бы, не должны приводить к противоречию, если пользоваться ими в естественной речи.

Одним из таких законов является закон контрапозиции, утверждающий, что при любых истинностных значениях высказываний А и В высказывания А → В и (не В) → (не А) равносильны (т.е. одновременно истинны или одновременно ложны).

Рассмотрим теперь общеизвестную истинную импликацию

«Если ветер дует, то деревья качаются». (1)

Тогда высказыванием, противоположным к обратному (по отношению к (1)), очевидно, будет

«Если деревья не качаются, то ветер не дует». (1)

В полном соответствии с законом контрапозиции это высказывание также оказывается истинным.

Посмотрим теперь, что будет, если мы переформулируем оба утверждения (1) и (1) в прошедшем времени. Тогда наши утверждения примут соответственно вид

«Если ветер дул, то деревья качались»; (2)

«Если деревья не качались, то ветер не дул». (2)

Вновь оба утверждения оказались истинными (и закон контрапозиции по-прежнему не нарушен).

Сформулируем теперь наши высказывания в будущем времени. Казалось бы, ничто не предвещает «краха» закона контрапозиции. Однако, мы получаем следующий довольно странный результат:

«Если ветер будет дуть, то деревья будут качаться»; (3)

«Если деревья не будут качаться, то ветер не будет дуть». (3)

Неужели закон контрапозиции неверен?

Объяснение кажущегося парадокса состоит в следующем.

В естественном языке мирно сосуществуют два различных по смыслу союза «если…, то…». Первый из них, который мы назовем логическим следованием, фактически утверждает:

«Если А, то одновременно с А имеет место и В».

Второй из упомянутых союзов, который мы назовем причинным следованием, в развернутом виде утверждает нечто иное:

«Если с некоторого момента А, то вскоре после этого имеет место и В».

Операция →, с которой мы имели дело всюду выше, представляла собой обобщение именно логического следования. Закон контрапозиции, справедливость которого установлена в формальной логике для операции →, вне всякого сомнения верен и для этого первого смыслового значения союза «если…, то…». При этом использование будущего времени при формулировке высказываний А и В никак не влияет на справедливость закона контрапозиции для операции логического следования. Например, одновременно истинны высказывания:

«Если число, которое ты задумаешь, будет делиться на 9, то оно будет делиться и на 3» и «Если число, которое ты задумаешь, не будет делиться на 3, то оно не будет делиться и на 9».

Отличие этой пары высказываний от (3), (3) очевидно!

Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в том, почему к парам высказываний (1), (1) и (2), (2) закон контрапозиции оказался применим, а также в том, как следует видоизменить этот закон, чтобы он стал применим и к высказываниям в будущем времени, содержащим операцию причинного следования.

Эффект, аналогичный кажущемуся нарушению закона контрапозиции, возникает и для логического союза «тогда и только тогда, когда…». Например, высказывание

«На улице станет светло тогда и только тогда, когда взойдет солнце», (4)

очевидно, истинно и имеет, на первый взгляд, структуру А↔В. Однако, попытка поменять А и В местами немедленно приводит к абсурду:

«Солнце взойдет тогда и только тогда, когда на улице станет светло». (4)