Откуда мы знаем, что такое точка?

Любопытно, что высказывания, аналогичные (4), но сформулированные в прошедшем и настоящем времени, по-прежнему абсурдны (в отличие от (1) и (2)).

13. КОВАРНЫЙ КУБ

По просьбе авторов в одном из вузов среди первокурсников был проведен опрос:

Можно ли « распилить» куб на четыре куба?

(При этом куб, который требовалось «распилить» указанным образом, был изображен на доске в проекции Кабине; см. рис. 13.1. В этой проекции отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины.)

Первокурсники дружно (50 человек из 60) ответили – «можно!»

В группе, где студенты были знакомы с началами логики, вопрос был задан в следующей «научной» форме (и было дано значительное время для обдумывания):

Истинно ли утверждение: <<Куб невозможно «распилить» на четыре куба>>?

Ответом было всеобщее: «Нет, это утверждение ложно!»

Рис. 13.1

Однако, распилить куб на четыре куба действительно невозможно. Нетрудно показать, что наименьшее число кубов, на которые можно «распилить» исходный куб, равно восьми. Доказать это можно, например, так. Никакие две вершины исходного (большого) куба не могут одновременно принадлежать ни одному из получившихся в результате распиливания кубиков. Однако, у исходного куба 8 вершин. Поэтому маленьких кубиков после распиливания получится по крайней мере восемь.

Надо сказать, что, познакомившись с этим простым рассуждением, студенты были сильно удивлены.

Вообще, на наш взгляд, должен существовать обязательный (и для гуманитариев, и для «технарей») список задач, развивающих воображение. И, пожалуй, задачу о распиливании куба следовало бы в него включить.

Задача. Истинно ли утверждение: <<Квадрат невозможно разрезать на три квадрата>>?

14. ПОЧЕМУ ДЕЛЕНИЕ

НЕ ДИСТРИБУТИВНО СЛЕВА?

Выпускники школ обычно прекрасно справляются с «раскрытием скобок» в выражениях, где нужно воспользоваться дистрибутивностью умножения относительно сложения и вычитания:

(a ± b)·c = a·c ± b·c, (1)

с·(a ± b) = c·a ± c·b (2)

и правильно раскрывают скобки в выражениях вида

(a ± b):c = a:c ± b:c (3)

(пользуясь дистрибутивностью справа деления относительно сложения и вычитания).

Неприятность, однако, заключается в том, что многие ученики, по аналогии с парой соотношений (1), (2), «раскрывают скобки» и в формулах вида c: (a ± b), приравнивая это выражение

c:a ± c:b (что, естественно, является грубой ошибкой). Доказать, что, вообще говоря,

c: (a ± b) ≠ c:a ± c:b (4)

очень легко с помощью контрпримера:

20: (4+1) = 4, в то время как 20:4 + 20:1 = 25.

Преподаватель, ограничиваясь подобным контрпримером, предлагает ученикам просто-напросто запомнить, что для умножения имеет место двусторонняя дистрибутивность относительно сложения и вычитания, а для деления – справедлива только дистрибутивность справа. Однако запомненное, но не понятое сведение, как показывает наш педагогический опыт, учениками к концу обучения в школе забывается.

Однако причина отличия пары (1), (2) от (3), (4 ) очень проста и заключается в том, что умножение вещественных чисел коммутативно, а деление – нет. Действительно, из (1) сразу же вытекает соотношение (2) в силу коммутативности умножения ; в то же время из (3) вывести аналогичное равенство невозможно в силу некоммутативности деления. На наш взгляд, сообщать ученикам это простое соображение совершенно необходимо.

15. ОБОБЩЕННАЯ ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА

Как хорошо известно, если имеются одно, два или три свойства (которые обозначим (a), (b), (c)), характеризующие элементы некоторого множества М, то классы, на которые разбиваются элементы множества М, удобно геометрически представлять на диаграмме Эйлера. Если же число свойств, по которым идет классификация элементов множества М, больше трех, то пользоваться диаграммой Эйлера неудобно. В общем случае, когда рассматриваются n свойств, справедлива следующая теорема (см. [4]): максимальное число различных классов, на которые при помощи n свойств может быть разбито множество М, равно 2n. Этот факт доказывается в [4] из комбинаторных соображений.

Заметим, однако, что если с самого начала использовать не диаграмму Эйлера, а предлагаемую ниже ее модификацию, то сформулированная теорема может быть доказана на рисунке. Рассмотрим вначале случай трех свойств; «места» для элементов множества М, обладающих свойством (a), будем условно обводить кружком, «места» для элементов, обладающих свойством (b) – квадратом; «места» для элементов со свойством (с) – треугольником.