Откуда мы знаем, что такое точка?

Вместо этого, чтобы оправдать соглашение (2), на наш взгляд, следует сказать, что для того чтобы формулы, которые вскоре появятся, имели единообразный вид при всех n ≥ 0 (а не только при n ≥ 1) нужно, чтобы выражение

(5)

равнялось 1. (Действительно, как известно, каждое выражение вида при 0 < k < n представляет собой число сочетаний из n элементов по k элементов, т.е. число способов выбрать какие-нибудь k элементов из n данных элементов. При k = 0, очевидно, существует только один такой способ – не брать ни одного элемента.)

Поэтому неизбежно принятие соглашения (2). В результате, мы избегаем неприятного порочного круга в задаче: «Сколькими способами можно выбрать 0 элементов из n элементов?»

(Имеется в виду следующий порочный круг: «Число этих способов равно числу сочетаний из n элементов по 0 элементов, т.е. равно выражению (5). Подставляя в (5) определение (2) для 0!, получаем в ответе 1»).

9. ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ БУКЕТА

Среди комбинаторных задач имеется серия таких, к которым правило произведения на первый взгляд неприменимо, и оттого эти задачи кажутся начинающему сложными. Однако при помощи простого рассуждения задачи этой серии могут быть переформулированы и затем решены именно с помощью вышеупомянутого правила произведения.

В качестве примера разберем одну из таких задач; прием, которым мы воспользуемся, заслуживает, на наш взгляд, специального рассмотрения на занятиях, посвященных комбинаторике.

Задача 1. Имеется 5 одуванчиков и 19 репейников. Сколькими способами можно составить из них букет, состоящий из трёх одуванчиков и семи репейников?

Решение. Букет, очевидно, представляет собой неупорядоченное множество, элементы которого выбираются из двух других непересекающихся неупорядоченных множеств – множества одуванчиков:

ОД = {ОД1, ОД2,..., ОД5} (1)

и множества репейников:

P = {Р1, Р2,..., Р19}. (2)

Существенно, однако, то, что каждому букету Б можно взаимно-однозначным образом сопоставить упорядоченную пару

Б ↔ ({три одуванчика); {семь репейников}). (3)

Это оказывается возможным только потому, что множества (1) и (2) не пересекаются!

Здесь, как это обычно принято, мы обозначаем неупорядоченные множества, перечисляя их элементы в фигурных скобках, а элементы упорядоченных множеств перечисляем в круглых скобках. Таким образом, элементами упорядоченной пары

({три одуванчика); {семь репейников}) (4)

являются два неупорядоченных множества.

Теперь в силу взаимной однозначности соответствия (3) заключаем, что численность множества Б (т.е. искомое число различных букетов заданного состава) равна численности множества упорядоченных пар вида (4).Тем самым, применяя правило произведения для нахождения этой численности, получаем

Ответ: искомое число способов равно ∙; здесь – число сочетаний из n элементов по k элементов.

Соображения вида (3) обычно считаются само собой разумеющимися и, как правило, опускаются в разделах, посвященных комбинаторике. Однако, на наш взгляд, проведенное рассуждение заслуживает большего внимания и, быть может, даже специального названия – например, «обобщенного правила произведения».

Разобранную выше задачу можно слегка видоизменить, причем изложенный выше прием снова продемонстрирует свою полезность.

Задача 2. Имеется 5 одуванчиков и 19 репейников. Сколькими способами можно составить из них букет, состоящий из десяти цветков и содержащий не менее трех одуванчиков?

Ответ:

10. О НЕКОТОРЫХ ТРУДНОСТЯХ

В ПРЕПОДАВАНИИ ЛОГИКИ

Каждый педагог, ведущий начальный курс логики, сталкивается с необходимостью иллюстрировать логические законы на примерах, взятых из естественного языка. Здесь, однако, преподавателя логики подстерегают трудности, связанные с тем, что язык логики и естественный язык – неизоморфны.

Пример 1. Попробуем проиллюстрировать закон де Моргана

(1)

(Здесь символы , и обозначают соответственно отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию высказываний.)

Рассмотрим высказывание

«Я не буду поступать в МГУ и в МПГУ». (2)

По вышеприведенному закону де Моргана высказывание (2), казалось бы, следует понимать так:

«Я не буду поступать в МГУ или я не буду поступать в МПГУ», т.е.

«Я не буду поступать хотя бы в одно из этих учебных заведений». (3)

Однако, в естественном языке фраза (2) имеет вполне определенный смысл, не совпадающий с (3). А именно, смысл (2) таков: