Откуда мы знаем, что такое точка?

Решение алгебраическое. Пусть х – количество рядов из кленов, у – количество рядов из лип. Тогда имеем систему:

у = х – 2, (5)

16х = 20у. (6)

Подставляя выражение для у из (5) в (6), получаем

16х = 20(х – 2), откуда х = 10.

Нетрудно видеть, однако, что (непосредственно, без предварительных алгебраических преобразований) при помощи моделирования «в отрезках» система (5), (6) не решается.

Решение арифметическое (основанное на мысленном моделировании). Будем пересаживать липы так, чтобы они были посажены такими же рядами, как клены. Для этого выкопаем 4 липы из первого ряда и посадим их в новый ряд за последним рядом лип. Чтобы заполнить первый новый ряд, нужно выкопать по 4 липы из первых четырех старых рядов. Чтобы заполнить второй новый ряд нужно выкопать по 4 липы из следующих четырех старых рядов. Поэтому, посадив липы так же как клены, мы образуем 4 + 4 + 2 рядов.

Ответ: клены были посажены в 10 рядов.

Итак, мы видим, что достаточно обширный класс задач, не поддающийся решению при помощи моделирования «в отрезках», может быть решен арифметическим способом при помощи мысленного моделирования. Этот класс задач, безусловно, должен предшествовать в курсе математики задачам, которые рассчитаны на решение алгебраическим способом.

Замечание. В заключение попробуем охарактеризовать задачи, которые могут быть решены при помощи моделирования «в отрезках».

Прежде всего, это задачи, которые сводятся к системе из двух уравнений с диагональной матрицей (коэффициенты системы предполагаются целочисленными). Иными словами – это системы относительно неизвестных х, у вида

x = p, (7)

mx + ny = q. (8)

Системы вида

x = ay, (9)

bx + cy = d, (10)

(где a, b, c, d – целочисленные коэффициенты) также непосредственно, т.е. без предварительного применения алгебраических преобразований, поддаются решению при помощи моделирования «в отрезках». Обе системы (7), (8) и (9), (10) характеризуются тем, что отрезок, изображающий одно из неизвестных (х или у) может быть выбран с самого начала произвольным образом.

5. УСОХШИЕ ПРОЦЕНТЫ

В этом параграфе мы разберем еще одну известную текстовую задачу – «на проценты». Алгебраическое решение этой задачи, как правило, вызывает у учеников недоумение и воспринимается ими в известной мере формально.

Задача. В магазин привезли 100 килограммов ягод, влажность которых составляла 99%. Через некоторое время ягоды немного подсохли, и их влажность стала равна 97%. Сколько стали весить ягоды, привезенные в магазин?

Решение. Обозначим через х вес сухого вещества ягод. Имеем из условия:

х = 100 – 100·0,99 = 1 (кг). (1)

После усушки вес сухого вещества ягод, очевидно, не изменился, поэтому, обозначая через у (общий) вес ягод после усушки, очевидно, приходим ко второму уравнению:

(2)

Разрешая систему (1), (2) относительно у, неожиданно получаем:

Ответ: После усушки ягоды стали весить кг.

Итак, усохнув всего-навсего на 2%, ягоды стали почему-то весить втрое меньше…

Продвинутые ученики, понимают, конечно, в чем тут дело, но остальным полученный ответ кажется очень странным и даже неверным.

Тем самым возникает чисто педагогическая проблема – как изложить решение этой задачи, чтобы ее ответ сделался не странным, а, напротив, очевидным?

Рис. 5.1

Как показывает опыт, делу может помочь следующая геометрическая модель (которую, впрочем, редко используют[4]); см. рис. 5.1, где условно принято:

AC = 100 (кг), AB = y (кг),

AD = AD = 1 (кг),

AD = 1% AC, AD = 3% AB.

Глядя на этот рисунок, даже слабые ученики воспринимают тот факт, что если отрезок AD составляет сотую долю известного отрезка AC, а отрезок, составляющий сотую долю от AB, в три раза короче, чем AD, то:

AB = AC, и тем самым AB = = (кг).

В результате обращения к этой геометрической модели, задача оказывается не формально «пройденной», а действительно понятой учениками.

6. ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

В КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ О МАРШРУТАХ

Хорошо известно следующее правило комбинаторики – так называемое правило произведения. Если нужно выбрать упорядоченную пару элементов (a,b) и первый элемент пары можно выбрать

k способами, а после того как первый элемент выбран, второй элемент можно выбрать m способами, то упорядоченную пару, состоящую из этих двух элементов, можно выбрать k∙m способами.