Откуда мы знаем, что такое точка?

«Я не буду поступать в МГУ и я не буду поступать в МПГУ». (2)

Таким образом, использовать примеры вида (2) для иллюстрации упомянутого выше закона де Моргана – нельзя.

Еще более интересная ситуация возникает, когда мы имеем дело с высказываниями, содержащими кванторы общности и существования .

Пример 2. Рассмотрим, например, следующий закон отрицания высказываний с квантором общности

(4)

заметим при этом, что «утверждение»

«» (4а)

является грубой ошибкой.

Попробуем теперь проиллюстрировать закон (4), отрицая высказывание:

«Каждый сумеет решить эту задачу». (5)

В соответствии с законом (4), правильно построенное отрицание имеет вид:

«Найдется человек, который не сумеет решить эту задачу». (6)

Однако, вопреки тому, что (4а) является грубой ошибкой, высказывание:

«Каждый – не сумеет решить эту задачу» (6а)

является вполне допустимым в естественном языке отрицанием высказывания (5).

Приведенные выше примеры говорят о том, что иллюстрации к законам логики, взятые из естественного языка, следует подбирать с осторожностью, а сам факт отсутствия изоморфизма между языком логики и естественным языком – следует подчеркнуть в самом начале вводного курса логики.

11. НЕСУЩЕСТВУЮЩИЕ ОБЪЕКТЫ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Выше мы уже говорили о том, что в преподавании начального курса логики имеются своеобразные трудности, связанные с отсутствием изоморфизма между естественным языком и языком, на котором написаны логические формулы.

Сейчас эта тема будет продолжена в несколько ином направлении.

Как хорошо известно, в математике не существует запрета на введение (временных) обозначений для несуществующих объектов. Например, если требуется решить в целых числах уравнение

31x + 572= 1000,

то через x обозначают искомое (несуществующее) целочисленное решение, и лишь затем убеждаются, что такого решения нет.

Строго говоря, здесь следовало бы рассуждать от противного; однако, даже рассуждая со всей строгостью от противного, мы по-прежнему вынуждены вводить обозначение x для несуществующего объекта.

Здесь мы коснемся этого же вопроса применительно к преподаванию темы «Высказывания» в курсе логики. Разбирая эту тему, преподаватель неизбежно сталкивается с несуществующими объектами, которые ведут себя довольно парадоксальным образом.

Рассмотрим, например, высказывание:

Все Деды-Морозы делают подарки детям. (1)

Это высказывание, очевидно, следует считать истинным. Действительно, его отрицание выглядит следующим образом:

Существует Дед-Мороз, который не делает подарков детям. (2)

(Поскольку Дед-Мороз не существует, высказывание (2) – ложно, и, значит, высказывание (1) истинно.) В высказывании (1) мы имеем дело с (пустым) множеством, состоящим из всех Дедов-Морозов; ситуация радикально меняется, если мы имеем дело не с множеством, а с «единичным объектом», которого на самом деле не существует.

Действительно, рассмотрим теперь такое высказывание:

Дед-Мороз принес подарок Васе. (1)

Однако (1) в отличие от (1), очевидно, ложно! Дело в том, что (1), в сущности, следует рассматривать не как простое, а как составное высказывание:

Дед-Мороз существует и Дед-Мороз принес подарок Ване. (1)

Итак, здесь мы вновь столкнулись с неизоморфностью естественного языка и языка формальной логики, о чем, без сомнения, следует помнить преподавателю.

12. ИМПЛИКАЦИЯ И ВРЕМЯ

Теперь мы обсудим некоторые довольно любопытные вопросы, касающиеся взаимодействия хода логических рассуждений с ходом времени.

Общеизвестно, что никакое минимально содержательное рассуждение в естественном языке не может обойтись без слов «если…, то…». В логике аналогом этого союза является операция импликация.

Напомним, однако, что в отличие от естественной речи, где союз «если …, то…» применяется к парам высказываний, связанным по смыслу, имитирующая этот союз импликация применима к любой паре высказываний, независимо от того, связаны эти высказывания по смыслу или нет.