Отличная квантовая механика

Такой результат несложно представить себе зрительно, заметив, что преобразование линейной схемы в системе отсчета четвертьволновой пластинки (рис. РВ.3) дает эллиптическую картину, симметричную относительно осей ±45° (они соответствуют горизонтальной и вертикальной осям в лабораторной системе отсчета) и, следовательно, содержащую равное количество энергии в проекциях на эти оси.

Глава РГ

Решения к упражнениям приложения Г

Решение для упражнения Г.1. Воспользовавшись методом интегрирования по частям, находим

Первый член в правой части уравнения (РГ.1) равен 𝑓(+∞) при ограниченной 𝑓(x). Чтобы оценить второй член, проанализируем поведение функции Γb(x) (рис. РГ.1). Она приближается к 0 при —∞, к 1 при +∞ и значительно отличается от этих значений в области, где Gb(x) заметно отличается от нуля. Ширина данной области обнуляется при b → 0. В этом пределе Γb(x) ведет себя как ступенчатая функция Хевисайда (Г.7). Следовательно, при гладкой 𝑓(x)

согласно формуле Ньютона — Лейбница. Подставив оба члена в (РГ.1), получаем 𝑓(0).

Решение для упражнения Г.2

a) Уравнение (Г.4) получаем, подставив 𝑓(x) = 1 в уравнение (Г.3).

b) Произведем замену переменной интегрирования x — a = t. Тогда dt = dx и

c) Рассмотрим гладкую функцию 𝑓(x) и интеграл:

Чтобы вычислить этот интеграл, заменим переменную интегрирования ax = t, так что dx = dt/a. Тогда для положительного a:

Если a отрицательно, x = ±∞ соответствует t = ∓∞, так что нам придется изменить пределы интегрирования:

Два приведенных выше уравнения можно объединить, написав

Сравнив уравнения (Г.3) и (РГ.2), получаем:

Решение для упражнения Г.3. Пусть dθ(x)/dx = α(x). Рассмотрим интеграл

гладкой ограниченной функции 𝑓(x). Интегрируя по частям, находим:

Первый член в этом выражении равен 𝑓(+∞). Второй член, согласно определению функции Хевисайда, равен

так что I = 𝑓(0). Таким образом, обобщенная функция α(x) ведет себя в соответствии с определением (Г.3) дельта-функции; следовательно, она является дельта-функцией.

Решение для упражнения Г.4

где θ(x) есть функция Хевисайда, и мы воспользовались формулой Ньютона — Лейбница.

Решение для упражнения Г.5

a) Это следует из определения (Г.10) преобразования Фурье при k = 0.

с) Вводим новую переменную интегрирования t = ax и действуем по аналогии с упр. Г.2, c).

d) Заменим переменную интегрирования на t = x — a. Получаем:

f) Воспользуемся интегрированием по частям и учтем, что 𝑓(x) обнуляется на ±∞:

Решение для упражнения Г.6. Чтобы вычислить интеграл

выразим экспоненту в уравнении (РГ.3) как квадратичную функцию от x, а затем применим (Б.17):

Решение для упражнения Г.7

b) Приравняв d к 2/b, мы можем переписать (Г.1) в виде:

Заметим также, что в пределе при d → ∞ функция Гаусса становится постоянной и равной единице. Отсюда следует, что

Решение для упражнения Г.8. Для начала установим a = 1. Заметим, что требуемый интеграл представляет собой, с точностью до множителя преобразование Фурье от функции 𝑓(x) = 1 в точке — k. Применив (Г.18), находим:

Здесь мы воспользовались четностью дельта-функции, которая очевидна из (Г.1). Чтобы обобщить этот результат для произвольного a, используем (Г.12).

Решение для упражнения Г.9.

a) Применяя результаты (Г.13) и (Г.17), получаем:

Решение для упражнения Г.10

Решение для упражнения Г.11. Начнем с определения (Г.21) обратного преобразования Фурье и получим:

[здесь мы поменяли местами переменные x и k по отношению к (Г.21)]. Второе равенство в (Г.23) получается заменой х на — х в уравнении выше.

Об авторе

АЛЕКСАНДР ЛЬВОВСКИЙ (45) — физик-экспериментатор в области квантовых оптических технологий. Родился и вырос в Москве, учился в 91-й и 57-й школах, окончил Московский физико-технический институт и Колумбийский университет в Нью-Йорке, где получил в 1998 году степень доктора философии. После этого провел год в Калифорнийском университете в Беркли в качестве постдока, а затем пять лет в Университете Констанца в Германии: сначала в качестве стипендиата имени Александра фон Гумбольдта, а затем руководителя группы в рамках гранта имени Эмми Нётер Немецкого научного общества.

В 2004 году стал профессором факультета физики и астрономии в Университете Калгари, а с осени 2018 года является профессором в Оксфордском университете в Великобритании, параллельно с 2013 года руководит лабораторией в Российском квантовом центре.