Отличная квантовая механика

Хотя мы и не нашли явного выражения для |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩, мы знаем из (A.50), что Пользуясь этим и уравнением (РА.49), мы можем переписать (РА.50) как

Решение для упражнения A.95. Разложим где {|𝑣i⟩} — ортонормальный базис, постоянный по отношению к t. Учитывая линейность гильбертова пространства, находим

Аналогично, производная оператора с матрицей (Yij(t)) представляет собой матрицу (dYij(t)/dt).

Решение для упражнения A.96. В ортонормальном базисе {|ai⟩}, который диагонализирует Â, имеет место равенство

Операторы iÂe^iÂt и ie^iÂt имеют то же спектральное разложение, что и оператор выше.

Решение для упражнения A.97

a) Воспользуемся разложением Тейлора экспоненциальной функции оператора, чтобы записать

b) Начнем с того, что воспользуемся результатом упр. A.96 и выведем

Чтобы привести этот результат к виду правой части уравнения (A.56), нам нужно поставить и Â, и справа от экспонент. Каждый из этих операторов коммутирует с экспонентой самого себя (упр. A.90), но, чтобы обменять местами операторы Â и необходимо использовать результат пункта a), который мы запишем как Имеем

c) Пусть Взяв производную от обеих частей этого уравнения, получим (A.56):

Мы видим, что оба оператора — Ĝ(λ) и Ĝ'(λ) — удовлетворяют уравнению (A.56). Чтобы убедиться в равенстве этих двух операторов, нам нужно также проверить граничное условие Коши, т. е. что Ĝ(λ) = Ĝ'(λ) при λ = 0. И действительно, в этом случае и Ĝ(λ), и Ĝ'(λ) превращаются в оператор тождества, так что равенство выполняется.

d) Для λ = 1 уравнение (A.57) принимает вид

Поскольку c — число, это уравнение эквивалентно формуле Бейкера — Хаусдорфа — Кэмпбелла.

Глава РБ

Решения к упражнениям приложения Б

Решение для упражнения Б.1. Если мы бросим шестигранную игральную кость, то шанс на выпадение ее любой заданной гранью вверх будет равен 1/6. Таким образом, pri = 1/6 для всех i. Величина Qi — значение, обозначенное на выпавшей стороне кости. Подставив эти величины в уравнение для математического ожидания, получаем

Решение для упражнения Б.2. Раскроем выражение в правой части (Б.2) и запишем

В двух последних слагаемых этого выражения величина ⟨Q⟩ одинакова при всех значениях i, поэтому ее можно вынести из-под знака суммы:

Используя

получаем

⟨ΔQ²⟩ = ⟨Q⟩ − 2⟨Q⟩⟨Q⟩ + ⟨Q⟩² = ⟨Q²⟩ − ⟨Q⟩². (РБ.5)

Решение для упражнения Б.3. Математическое ожидание величины на выпавшей грани кости ⟨Q⟩ = 7/2 (см. упр. Б.1), а вероятность каждого из событий равна 1/6. Применив определение неопределенности, вычисляем

Мы можем также решить эту задачу, использовав результат предыдущего упражнения:

Решение для упражнения Б.4. Величину QR можно рассматривать как случайную переменную, которая принимает значение QiRj, если Qi и Rj имеют место одновременно, что происходит с вероятностью для каждой пары (i, j). Теперь, применив определение математического ожидания, находим

Если Q и R не являются независимыми, то утверждение, что Qi и Rj происходят одновременно с вероятностью неверно, как неверно и равенство ⟨QR⟩ = ⟨Q⟩⟨R⟩. Так, если Q = R, то ⟨QR⟩ = ⟨Q²⟩ ≠ ⟨Q⟩² = ⟨Q⟩⟨R⟩.

Решение для упражнения Б.5. Мы можем рассматривать каждый k-й бросок кости как независимую случайную переменную Q⁽k⁾. Тогда

Последнее выражение содержит N² членов, из которых в N членов k равно ℓ, а в N(N — 1) членов k не равно ℓ. Для k = ℓ имеет место равенство ⟨Q⁽k⁾Q⁽ℓ⁾⟩ = ⟨Q²⟩; в противном случае ⟨Q⁽k⁾Q⁽ℓ⁾⟩ = ⟨Q⟩² согласно упр. Б.4. Отсюда следует, что

Для дисперсии воспользуемся (Б.3), чтобы записать:

и далее, для среднеквадратического отклонения:

Решение для упражнения Б.6. Воспользовавшись (Б.5), находим Поскольку события Bi несовместны, имеет место равенство Последняя величина равна prA, потому что события Bi коллективно исчерпывающи, т. е. событие (B₁ или … или Bn) происходит наверняка.

Решение для упражнения Б.7

a) Согласно (Б.5), имеет место равенство

pr_{полож.|неинф.} = pr_{полож.&неинф.}/pr_неинф.,

поэтому

pr_{полож.&неинф.} = pr_{полож.|неинф.} × pr_неинф. = pr_{полож.|неинф.} [1-pr_инф.] = 0,04995.

b) Разделим всех людей с положительным результатом на два подмножества — инфицированные и неинфицированные:

pr_полож. = pr_{полож.&неинф.} + pr_{полож.&инф.} = pr_{полож.&неинф.} + pr_инф. = 0,051.

Второе равенство в этом выражении верно, поскольку тест не дает ложных отрицательных результатов, т. е. множество людей, которые инфицированы и показывают положительный результат, — это то же множество людей, которые просто инфицированы.

c) Пользуясь двумя предыдущими результатами, находим: