Отличная квантовая механика

b) Точно так же каждый из элементов нашего множества должен быть пропорционален одному из элементов собственного базиса. Поскольку это множество нормированно и линейно независимо, оно должно быть идентично собственному базису.

Решение для упражнения A.68. По определению любой вектор является собственным вектором единичного оператора с собственным значением 1. Это означает также, что любой базис является собственным базисом этого оператора: в качестве примера можно привести канонический и диагональный базисы.

Решение для упражнения A.69. Пусть векторы |𝑣⟩ и |ω⟩ суть собственные векторы оператора с собственными значениями 𝑣 и ω соответственно. Предположим, что спектральное разложение содержит базисные элементы |𝑣₁⟩, |𝑣₂⟩, …, связанные с собственным значением 𝑣, и базисные элементы |ω₁⟩, |ω₂⟩, …, связанные с собственным значением ω. Тогда, согласно упр. A.66, мы можем разложить

Поскольку спектральное разложение дает ортонормальный базис, все |𝑣i⟩ и |ωi⟩ взаимно ортогональны. Поэтому

Решение для упражнения A.70. Необходимо показать, что любая линейная комбинация собственных векторов с заданным собственным значением 𝑣 также является собственным вектором с тем же собственным значением. Это следует из определения A.15 линейного оператора. Действительно, для любых двух собственных векторов |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩ оператора с собственным значением 𝑣 имеет место равенство

Решение для упражнения A.71

a) Пусть Условие эквивалентно

⟨ψ|Ĉ|ψ⟩ = 0 (РА.38)

для всех |ψ⟩. Предположим, что Ĉ ≠ 0 — т. е. существует вектор |a⟩ такой, что Ĉ|a⟩ ≠ 0. Пусть |b⟩ = Ĉ|a⟩ и |c⟩ = Ĉ|b⟩. Из уравнения (РА.38) следует, что ⟨a|b⟩ = 0 и ⟨b|c⟩ = 0.

Из линейности оператора Ĉ следует, что

Ĉ(|a⟩ + |b⟩) = |b⟩ + |c⟩.

Взяв скалярное произведение обеих частей данного уравнения с |a⟩ + |b⟩ и воспользовавшись уравнением (РА.38), а также равенством ⟨a|b⟩ = ⟨b|c⟩ = 0, получим ⟨a|c⟩ + ⟨b|b⟩ = 0.

Помимо этого имеет место равенство

Ĉ(|a⟩ + i|b⟩) = |b⟩ + i|c⟩.

Домножив обе части этого уравнения на |a⟩ + i|b⟩, находим ⟨a|c⟩ — ⟨b|b⟩ = 0, так что ⟨b|b⟩ равно ⟨c|a⟩ и —⟨c|a⟩ одновременно. Это возможно, только если |b⟩ = 0, что противоречит сделанному нами предположению.

b) Воспользовавшись (A.37), получим ⟨ψ|Â|ψ⟩ = ⟨ψ|Â^†|ψ⟩^* для всех |ψ⟩. Поскольку известно, что ⟨ψ|Â|ψ⟩ действительно, это означает, что ⟨ψ|Â^†|ψ⟩, а следовательно, Â = Â^†, в соответствии с пунктом a).

Решение для упражнения A.72

 Предположим, все собственные значения в спектральном разложении положительны (неотрицательны). Мы можем разложить любой ненулевой вектор |ψ⟩ по собственному базису Тогда

Поскольку |ψ⟩ ненулевой, ненулевым является также по крайней мере один из ψi. Значит, если все 𝑣i положительны (неотрицательны), то положительно (неотрицательно) и ⟨ψ|Â|ψ⟩, поэтому Â — положительный (неотрицательный) оператор.

 Предположим, Â — положительный (неотрицательный) оператор. Для любого ненулевого собственного вектора |𝑣⟩ оператора Â с собственным значением 𝑣 имеет место равенство ⟨𝑣|Â|𝑣⟩ = 𝑣⟨𝑣|𝑣⟩ = 𝑣. Если ⟨𝑣|Â|𝑣⟩ положительно (неотрицательно), то таким же является и 𝑣.

Решение для упражнения A.73. Для любого произвольного вектора |ψ⟩, согласно определениям линейного оператора и скалярного произведения,

Если оба слагаемых в правой части положительны (неотрицательны), то положительна (неотрицательна) и левая часть.

Решение для упражнения A.74

Решение для упражнения A.75

Решение для упражнения A.76. Поскольку имеет место равенство

Решение для упражнения A.77

a) Воспользовавшись (A.42), находим

из чего следует, что эрмитов.

b) Аналогично

Решение для упражнения A.78. Выведем коммутационные отношения, используя (1.7).

Следовательно,

Наконец,

Кроме того, потому что любой оператор коммутирует сам с собой.

Решение для упражнения A.79. Для любого ненулевого вектора |a⟩ существует вектор |a₁⟩ = |a⟩/‖|a⟩‖ длины 1. Оператор Û отображает этот вектор на той же длины, поскольку Û унитарный. А так как имеем

Решение для упражнения A.80. Если оператор сохраняет скалярное произведение, он сохраняет также и норму вектора, потому что норма есть корень квадратный из скалярного произведения вектора с самим собой.

Чтобы доказать обратное утверждение, рассмотрим два произвольных вектора |a⟩ и |b⟩. Тогда для |c⟩ = |a⟩ + |b⟩ получаем

⟨c|c⟩ = ⟨a|a⟩ + ⟨b|b⟩ + ⟨a|b⟩ + ⟨a|b⟩^*. (РА.44)

В то же время для |a'⟩ = Û|a⟩, |b'⟩ = Û|b⟩ и |c'⟩ = Û|c⟩ имеем

⟨c'|c'⟩ = ⟨a'|a'⟩ + ⟨b'|b'⟩ + ⟨a'|b'⟩ + ⟨a'|b'⟩^*. (РА.45)

Поскольку ⟨a'|a'⟩ = ⟨a|a⟩, ⟨b'|b'⟩ = ⟨b|b⟩, ⟨c'|c'⟩ = ⟨c|c⟩, мы видим из уравнений (РА.44) и (РА.45), что ⟨a'|b'⟩ + ⟨a'|b'⟩^* = ⟨a|b⟩ + ⟨a|b⟩^*, т. е. Re⟨a'|b'⟩ = Re⟨a|b⟩.