Отличная квантовая механика

Решение для упражнения A.40. Взяв скалярное произведение обеих частей (A.19) с ⟨𝑣k|, получаем

Решение для упражнения A.41. Сначала найдем матричное представление Для вычислений используем стандартный базис ℝ², а именно состоящий из единичных векторов вдоль осей x и y, которые ортонормальны в смысле стандартного скалярного произведения. Результатом поворота î на угол θ станет новый единичный вектор, образующий с осью x угол θ: Аналогично

Остается найти элементы матрицы R_θ. Сделаем это с помощью (A.21).

а отсюда следует, что

Аналогичным образом

Используя правила перемножения матриц, находим

Как и ожидалось, матрица идентична матрице поворота на угол θ + φ.

Решение для упражнения A.42. Базис в пространстве линейных операторов образуют N² операторов с матрицами, все элементы которых, кроме одного, — нули, а элемент в позиции (m,n) (где 1 ≤ m, n ≤ N) — единица.

Решение для упражнения A.43. Проверяем сразу оба свойства линейности. Пусть |x⟩, |y⟩ ∈ 𝕍, а λ, μ ∈ 𝔽. Тогда

|a⟩⟨b|(λ|x⟩ + μ|y⟩) = ⟨b|(λ|x⟩ + μ|y⟩)|a⟩ = (λ⟨b|x⟩ + μ⟨b|y⟩)|a⟩ = λ(⟨b|x⟩|a⟩) + μ(⟨b|y⟩|a⟩) = λ(|a⟩⟨b|)|x⟩ + μ(|a⟩⟨b|)|y⟩,

отсюда следует, что |a⟩⟨b| линеен.

Решение для упражнения A.44. Это следует из определения A.20 оператора внешнего произведения:

⟨a|(|b⟩⟨c|)|d⟩ = ⟨a|(⟨c|d⟩|b⟩) = (⟨a|b⟩)(⟨c|d⟩).

Решение для упражнения A.45. Пусть {|𝑣i⟩} — ортонормальный базис, в котором мы хотим найти матрицу. Тогда (i, j) — й элемент матрицы равен, согласно (A.21),

Решение для упражнения A.46. Матрица оператора в правой части (A.24),

равна матрице оператора Â.

Решение для упражнения A.47. Определим и покажем, что Заметим, что для любого m

поэтому для всех элементов базиса |𝑣m⟩. Данные два оператора отображают все элементы базиса одинаково, и это означает, что на самом деле они отображают все векторы одинаково, т. е. и сами они идентичны.

Решение для упражнения A.48. Сославшись на упр. A.46, запишем:

Решение для упражнения A.49. Воспользовавшись (A.25), получим:

Решение для упражнения A.50

Решение для упражнения A.51

a) Из уравнений (A.28) следует, что

Подставим эти выражения в разложение оператора Â, найденное нами в упр. A.48:

и отсюда следует, что

b) Для использования второго метода мы должны сначала найти скалярные произведения элементов базиса.

Теперь можно применить (A.27) и записать

Этот расчет можно сократить, если переписать последнюю строчку уравнения (A.27) как произведение матриц:

Решение для упражнения A.52

a) Используя (A.29), запишем

что означает линейность отображения согласно определению A.15.

b) Из упр. A.45 мы знаем, что матрицу оператора внешнего произведения |b⟩⟨c| можно выразить как ⟨𝑣i|b⟩ ⟨c|𝑣j⟩ = bicj^*. Теперь, воспользовавшись (A.29), находим

Это то же самое, что

c) Проведем доказательство в матричном виде. Для левой части уравнения (A.30) находим:

d) Согласно результату пункта c), скалярное произведение ⟨a|Â и любого произвольного вектора |c⟩ равно ⟨a|(Â|c⟩), т. е. не зависит от того, какой базис {|𝑣i⟩} использовался в (A.29). Это означает, что сам ⟨a|Â тоже не зависит от базиса.

Решение для упражнения A.53. Матрица оператора Â дается уравнением (A.21) в виде A_ij = ⟨𝑣i|Â|𝑣j⟩. Обозначим |b⟩ = Â|𝑣j⟩. Тогда из определения сопряженного оператора следует, что ⟨b| = |𝑣j⟩|Â^†. Поэтому

A_ij = ⟨𝑣i|Â|𝑣j⟩ = ⟨𝑣i|b⟩ = ⟨b|𝑣i⟩^* = ⟨𝑣j|Â|𝑣i⟩^* = (Â^†)^*ji,

где (Â^†)ji есть элемент матрицы оператора Â^†, стоящий в j-й строке, i-м столбце. Мы видим, что матрица Â^† получается из матрицы Â путем транспонирования и комплексного сопряжения.

Решение для упражнения A.54. Двойная перестановка элементов матрицы в сочетании с двойным комплексным сопряжением каждого из ее элементов дает в результате ту же исходную матрицу.

Решение для упражнения A.55. Транспонирование и сопряжение каждой из матриц (1.7) даст ту же матрицу. Согласно упр. A.53, это свидетельствует о том, что соответствующие операторы Паули эрмитовы.

Решение для упражнения A.56. В качестве простого контрпримера мы используем эрмитовы операторы и

Результирующая матрица не является эрмитовой:

Решение для упражнения A.57. Согласно упр. A.45, матрицы операторов внешнего произведения |b⟩⟨c| и |c⟩⟨b| равны, соответственно, ⟨𝑣i|b⟩⟨c|𝑣j⟩ = bic^*j и ⟨𝑣i|c⟩⟨b|𝑣j⟩ = b^*jci. Эти матрицы являются транспонированными и сопряженными по отношению друг к другу.

Решение для упражнения A.58

a) Пусть Тогда для матрицы Ĉ^† имеет место равенство

(Ĉ^†)_ij = Ĉ^*_ji = A^*_ji + B^*_ji = (A^†)_ij + (B^†)_ij,

где (A^†)_ij и (B^†)_ij — матрицы операторов Â^† и соответственно.