Отличная квантовая механика

где мы предположили, что — наш базис. Возьмем скалярное произведение обеих частей уравнения (РА.16) с произвольным базисным элементом |𝑣j⟩ и найдем, пользуясь ортонормальностью базиса,

Решение для упражнения A.22

a) В множестве {|ω₁⟩, |ω₂⟩} имеется два вектора. Поэтому достаточно показать, что оно ортонормально (тогда из упр. A.19 и двумерности нашего гильбертова пространства будет следовать, что это множество является базисом). Используя правила скалярного произведения (не забывайте применять комплексное сопряжение, где это необходимо!), находим

Аналогичным образом

а отсюда ⟨ω₂|ω₁⟩ = ⟨ω₁|ω₂⟩^* = 0. Остается проверить ⟨ω₂|ω₂⟩.

b) Воспользовавшись определением A.7 матричного вида вектора, находим

Чтобы разложить векторы |ψ⟩ и |ϕ⟩ по базису {|ω₁⟩, |ω₂⟩}, находим их скалярные произведения с элементами базиса, пользуясь правилом A.5 перемножения матриц:

c) Для скалярного произведения имеет место равенство

Решение для упражнения A.23. С одной стороны, заметим, что |a⟩ — нормированный вектор, а значит, ⟨a| a⟩ = 1. С другой стороны,

из чего следует, что

Решение для упражнения A.24. Во-первых, заметим, что ни один из векторов |𝑣i⟩, определенных уравнением (A.9), не может быть равен нулю, потому что каждый из них представляет собой нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов |ω₁⟩, …, |ωj⟩.

Во-вторых, нам необходимо убедиться, что векторы |𝑣i⟩ ортогональны друг другу. Для этого достаточно показать, что каждый вектор |𝑣k+₁⟩ ортогонален всем |𝑣j⟩ при j ≤ k. Мы сделаем это следующим образом:

отсюда вытекает, что множество {|𝑣i⟩} ортогонально. Кроме того, оно нормированно и содержит N = dim 𝕍 элементов. Согласно упр. A.19, такое множество образует базис в 𝕍.

Решение для упражнения A.25. Для начала выберем произвольный ортонормальный базис такой что |ωN⟩ = |ψ⟩. Затем определим следующие векторы:

Несложно убедиться, что эти векторы нормированы и ортогональны друг другу, а также |ω₂⟩, …,|ωN_-1⟩, поэтому множество {|𝑣₁⟩, |ω₂⟩, …,|ωN_–1⟩, |ψ⁽¹⁾⟩} образует ортонормальный базис. Кроме того, имеют место равенства и

Повторяем эту процедуру m — 1 раз. Для каждого i мы определяем

так что и После завершающего шага мы получаем ортонормальный базис {|𝑣₁⟩, …, |𝑣m⟩, |ωm₊₁⟩, …, |ωN_–1⟩, |ψ⁽m⁾⟩}, где для всех 1 ≤ i ≤ m, но ⟨ω_i|ψ⟩ для всех m + 1 ≤ i ≤ N–1, а также ⟨ψ⁽m⁾|ψ⟩ = 0. Согласно упр. A.21, это означает, что

Решение для упражнения A.26. Чтобы доказать неравенство Коши — Буняковского, сначала заметим, что для любых векторов |a⟩, |b⟩ и комплексного скаляра λ выполняется соотношение

0 ≤ ‖|a⟩ — λ|b⟩‖² (РА.17)

Раскрывая скобки, мы видим, что

0 ≤ ⟨a|a⟩ — λ⟨a|b⟩ — λ^*⟨b|a⟩ + |λ|²⟨b|b⟩.

Если |b⟩ = 0, неравенство Коши — Буняковского становится тривиальным. Если же нет, установим λ = ⟨b|a⟩/⟨b|b⟩ = ⟨a|b⟩^*/⟨b|b⟩, и тогда приведенное выше неравенство приобретает следующий вид:

откуда находим

|⟨a|b⟩|² ≤ ⟨a|a⟩⟨b|b⟩. (РА.18)

Взятие квадратного корня из обеих частей неравенства дает требуемый результат

|⟨a|b⟩| ≤ ‖|a⟩‖ × ‖|b⟩‖. (РА.19)

Единственный случай, при котором неравенство Коши — Буняковского может стать равенством, — это когда неравенство (РА.17) также становится равенством, что происходит только в случае, когда |a⟩ = λ|b⟩. И наоборот, если |a⟩ = λ|b⟩ при любом λ, то |⟨a|b⟩|² = |λ|²|⟨a|a⟩|² и ⟨a|a⟩⟨b|b⟩ = |λ|²|⟨a|a⟩|², так что две части неравенства (РА.18) равны между собой.

Решение для упражнения A.27. Неравенство треугольника — это прямое следствие неравенства Коши — Буняковского. Чтобы в этом убедиться, начнем с вычисления нормы вектора |a⟩ + |b⟩:

‖|a⟩ + |b⟩‖² = ⟨a|a⟩ + ⟨a|b⟩ + ⟨b|a⟩ + ⟨b|b⟩ = ‖|a⟩‖² + ‖|b⟩‖² + ⟨a|b⟩^* + ⟨a|b⟩ = ‖|a⟩‖² + ‖|b⟩‖² + 2Re{⟨a|b⟩} ≤ ‖|a⟩‖² + ‖|b⟩‖² + 2 |⟨a|b⟩| ≤ (поскольку Re{z} ≤ |z|) ≤ ‖|a⟩‖² + ‖|b⟩‖² + 2‖|a⟩‖ × ‖|b⟩‖ = (согласно неравенству Коши-Буняковского) = (‖|a⟩‖ + ‖|b⟩‖)².

Взятие квадратного корня из обеих частей даст нам требуемый результат.

‖|a⟩ + |b⟩‖ ≤ ‖|a⟩‖ + ‖|b⟩‖. (РА.20)

Решение для упражнения A.28. Чтобы показать, что 𝕍^† есть линейное пространство, мы должны проверить весь набор аксиом линейного пространства из определения A.1. Пусть |a⟩, |b⟩, |c⟩ — произвольные векторы в 𝕍^†, а λ, μ — произвольные скаляры в 𝔽. Мы находим:

1. Коммутативность

⟨a| + ⟨b| = сопр(|a⟩ + |b⟩) = сопр(|b⟩ + |a⟩) = ⟨b| + ⟨a|.

2. Ассоциативность

(⟨a| + ⟨b|) + ⟨c| = сопр ((|a⟩ + |b⟩) + |c⟩) = сопр (|a⟩ + (|b⟩ + |c⟩)) = ⟨a| + (⟨b| + ⟨c|).

3. Нулевой элемент. Поскольку

⟨a| + ⟨zero| = сопр (|a⟩ + |zero⟩) = сопр (|a⟩) = ⟨a| ⟨zero| есть нулевой элемент в 𝕍^†.

4. Противоположный элемент. Определим —⟨a| ≡ сопр (—|a⟩) и убедимся, что этот элемент противоположен ⟨a|:

⟨a| + (—⟨a|) = сопр(|a⟩ + (—|a⟩)) = сопр(|zero⟩) = ⟨zero|.