Отличная квантовая механика

b) Начнем с того, что запишем уравнение |a⟩ + |x⟩ = |a⟩ и добавим (—|a⟩) к обеим его частям:

|a⟩ + |x⟩ + (—|a⟩) = |a⟩ + (—|a⟩).(РА.1)

Мы можем преобразовать левую часть (РА.1) следующим образом:

В то же время правая часть уравнения (РА.1) равна |a⟩ + (—|a⟩) = |zero⟩. Обе стороны его равны между собой, т. е. |x⟩ = |zero⟩.

c) Из упр. A.2(b) следует, что 0 |a⟩ = |zero⟩.

d)

e) Воспользовавшись упр. A.2, b), видим, что −|zero⟩ = |zero⟩.

f) Это потому, что (—|a⟩) можно записать как (–1)|a⟩, а умножение вектора на число дает единственный вектор.

g) Применив упр. A.2, d), запишем

h) Если |a⟩ = |b⟩, то |a⟩ — |b⟩ = |a⟩ — |a⟩ = |a⟩ + (—|a⟩) = 0. Для доказательства обратного утверждения, приняв |a⟩ — |b⟩ = 0, добавив |b⟩ к каждой части этого уравнения и воспользовавшись ассоциативностью, найдем |a⟩ = |b⟩.

Решение для упражнения A.3. Предположим, что один из векторов (без потери общности будем считать, что это |𝑣₁⟩) может быть выражен как линейная комбинация других векторов: |𝑣₁⟩ = λ₂|𝑣₂⟩ + … + λN|𝑣N⟩. Тогда нетривиальная линейная комбинация —|𝑣₁⟩ + λ₂|𝑣₂⟩ + … + λN|𝑣N⟩ равна нулю, т. е. множество не является линейно независимым.

Обратное утверждение: предположим, что существует нетривиальная линейная комбинация λ₁|𝑣₁⟩ + … + λN|𝑣N⟩, равная нулю. Один из коэффициентов λ (допустим, λ₁) не равен нулю. Тогда мы можем выразить |𝑣₁⟩ = —(λ₂/λ₁)|𝑣₂⟩ — … — (λN/λ₁)|𝑣N⟩.

Решение для упражнения A.4

a) Параллельность двух векторов и означает, что существует некоторое число λ, для которого выполняется Но она означает также, что один из этих векторов можно выразить через второй, т. е. что они не являются линейно независимыми.

Для ответа на вторую часть вопроса рассмотрим три вектора с координатами Покажем, что если и линейно независимы, то линейно зависит от них, то есть существуют λ₂ и λ₃ такие, что или

x₁ = λ₂x₂ + λ₃x₃;

y₁ = λ₂y₂ + λ₃y₃. (РА.2)

Решение этой системы уравнений имеет вид

Приведенное выше решение не существует только в том случае, когда x₂y₃ — x₃y₂ = 0, т. е. x₂/y₂ = x₃/y₃. Последнее означает, что и параллельны друг другу, т. е. не являются линейно независимыми.

b) Поскольку векторы не компланарны, ни один из них не равен нулю (так как нулевой вектор может быть приписан к какой угодно плоскости). Теперь рассмотрим любые два из этих трех векторов, например и Эти два вектора образуют плоскость, и каждая их линейная комбинация будет лежать в пределах этой плоскости. Но третий вектор как известно из условия, лежит вне этой плоскости и потому не может быть линейной комбинацией первых двух.

Решение для упражнения A.5. Допустим, существует вектор, который нельзя выразить в виде линейной комбинации векторов множества, описанного в условии. Но это значит, что на плоскости есть три линейно независимых вектора. Как показано в упр. A.4, a), это невозможно.

Решение для упражнения A.6. Предположим, существует базис V = {|𝑣i⟩} в 𝕍, содержащий N элементов, и базис W = {|ωi⟩} в 𝕍 с M > N элементов. Вектор |ω₁⟩ можно выразить через векторы |𝑣⟩:

|ω₁⟩ = λ₁|𝑣₁⟩ + … + λN|𝑣N⟩. (РА.4)

Один из коэффициентов в этой комбинации (без потери общности скажем, что λ₁) должен быть ненулевым. Тогда мы можем выразить |𝑣₁⟩ через

{|ω₁⟩, |𝑣₂⟩, …, |𝑣N⟩}, (РА.5)

и, таким образом, это множество является остовом 𝕍.

Далее |ω₂⟩ можно выразить через элементы данного остова:

|ω₂⟩ = λ′₁|ω₁⟩ + λ′₂|𝑣₂⟩ + … + λ′N|𝑣N⟩. (РА.6)

По крайней мере один из коэффициентов перед |𝑣i⟩ должен быть не равен нулю, поскольку иначе множество W станет линейно зависимым. Пусть это будет коэффициент λ₂. Тогда мы можем выразить |𝑣₂⟩ через

{|ω₁⟩, |ω₂⟩, |𝑣₃⟩, …,|𝑣N⟩}, (РА.7)

и, следовательно, данное множество также является остовом 𝕍.

Подобную процедуру замены |𝑣⟩ на |ω⟩ можно повторить еще N − 2 раз и показать, что множество

{|ω₁⟩, |ω₂⟩, …, |ωN⟩} (РА.8)

также является остовом. Но тогда все |ωi⟩, где N < i ≤ M, могут быть выражены в виде линейной комбинации |ω₁⟩, |ω₂⟩, …,|ωN⟩, а это означает, что множество W не является линейно независимым, т. е. это не базис, что противоречит нашему первоначальному предположению.

Решение для упражнения A.7

a) Пусть — некоторый базис в 𝕍. Нам необходимо доказать, что любое линейно независимое множество из N = dim 𝕍 элементов есть остов. Предположим, что это неверно, т. е. существует линейно независимое множество из N векторов не являющееся остовом 𝕍.

Рассмотрим всевозможные множества, содержащие все |ω⟩ и некоторые из |𝑣⟩. Среди таких множеств выберем одно, в котором наибольшее число элементов, но которое все еще является линейно независимым; обозначим его C. Тогда все |𝑣⟩, не входящие в C, можно выразить в виде линейной комбинации элементов C. Действительно, если бы существовало |𝑣m⟩, линейно независимое от |C⟩, тогда |C⟩ ∪ |𝑣m⟩ тоже было бы линейно независимым, а это противоречит нашему предположению о C.