Отличная квантовая механика

Поскольку все — эрмитовы операторы, — тоже эрмитов оператор. Следовательно, существует ортонормальный базис {|𝑣k⟩}, в котором принимает диагональный вид (см. упр. A.60). Приняв и подставив это состояние в (Р5.25), мы получаем для любого k:

Поскольку матрица в базисе {|𝑣k⟩} диагональна, из приведенного соотношения следует, что она соответствует единичному оператору.

Решение для упражнения 5.75. Для любого POVM-элемента существует ортонормальный базис {|𝑣i⟩}, в котором принимает диагональный вид. Подставляя элементы этого базиса в (5.39), находим для вероятности j-го результата измерения

Детектор не в состоянии дать информацию об исходном состоянии квантовой системы, и это означает, что pj одинаково для всех исходных состояний. Поэтому и одинаково для всех значений i. Иными словами, матрица в базисе {|𝑣i⟩} диагональна и все ее диагональные элементы равны prj.

Решение для упражнения 5.76

a) Матрица плотности содержит N² элементов, из чего следует, что N² комплексных параметров достаточно, чтобы полностью описать ее. Однако поскольку оператор плотности эрмитов, т. е. ρ_ij = ρ^*_ji, то одна пара действительных чисел содержит информацию об обоих этих элементах матрицы (и только одно действительное число требуется для описания каждого ее диагонального элемента). Поэтому на самом деле достаточно N² действительных параметров. Более того, физические матрицы плотности имеют единичный след, а значит, если нам известны любые N — 1 диагональных элементов, мы можем вычислить и N-й элемент. Это дополнительно снижает число необходимых действительных параметров до N² — 1.

Обратите внимание, что физические матрицы плотности также ограничены условием (5.3). Но это условие — неравенство и потому уже не уменьшает числа необходимых параметров.

b) Проективные измерения в заданном базисе {|𝑣j⟩} дают N действительных вероятностей связанных с N базисными элементами. Однако, поскольку сумма этих вероятностей равна единице, информация о них может содержаться в N — 1 действительных чисел.

Решение для упражнения 5.77. Воспользовавшись результатами упр. 5.3, находим:

ρ_HH = pr_H;

ρ_VV = pr_V;

ρ_HV + ρ_VH = 2pr₊ — pr_H — pr_V = 2pr₊ — 1;

ρ_HV — ρ_VH = —i(2pr_R — pr_H — pr_V) = —i(2pr_R — 1),

где мы исходили из того, что prH + prV = 1. Последние два уравнения дают

Решение для упражнения 5.78. Мы ищем матрицу плотности для двух фотонов в каноническом базисе

 Измерения в канонических базисах Алисы и Боба дают диагональные элементы

 Измерения, в которых базис Алисы канонический, а базис Боба — диагональный и круговой, дают

откуда, воспользовавшись уже существующим знанием ρHHHH и ρHVHV, находим ρHHHV ± ρHVHH и затем сами ρHHHV и ρHVHH. Аналогичным образом, из prV+ и prVR мы находим ρVVVH и ρVHVV.

 Измерения, в которых базис Боба канонический, а базис Алисы — диагональный и круговой, дают, по тому же принципу, ρHHVH, ρVHHH, ρVVHV и ρHVVV.

 Элементы матрицы, которые еще остается найти, — это ρHHVV, ρVVHH, ρHVVH и ρVHHV. Их можно вычислить из измерений, в которых Алиса и Боб используют диагональные и круговые базисы. В частности:

где многоточиями обозначены те элементы матрицы плотности, которые уже известны нам из предыдущих экспериментов. Приведенные выше четыре уравнения несложно решить, чтобы найти четыре оставшиеся неизвестными матричных элемента.

Решение для упражнения 5.79. Как мы выяснили в упр. 5.23(b), Поэтому матрица в базисе {|𝑣i⟩} — это просто произведение матриц Û, и Û^†. Матрица Û известна, потому что мы знаем состояние Û|𝑣j⟩, т. е. матричный элемент ⟨𝑣i|Û|𝑣j⟩, для всех i и j.

Решение для упражнения 5.80. Из упр. 5.22, a) мы узнали, что состояние эквивалентно (по всем физическим свойствам) ансамблю, в котором состояние возникает с вероятностью α, а состояние — с вероятностью β. Так что мы можем без потери общности считать, что именно этот ансамбль поступает на вход «черного ящика». Пройдя через него, состояния дают состояния соответственно. Следовательно, на выходе будем иметь ансамбль, в котором состояние возникает с вероятностью α, а состояние — с вероятностью β. Оператор плотности этого ансамбля равен

Решение для упражнения 5.81. По построению каждый элемент в Q (множестве, определенном в подсказке к этому упражнению) соответствует физическому состоянию. Число элементов в Q равно N². Согласно упр. A.7, для демонстрации того, что Q есть базис, требуется лишь доказать, что оно образует остов в пространстве линейных операторов.

С этой целью выразим оператор |𝑣k⟩⟨𝑣l| для любых k и l через элементы Q. Для k = l это выражение тривиально: |𝑣k⟩⟨𝑣l| = ρkk. Для k ≠ l запишем

из чего следует, что

Поскольку множество {|𝑣k⟩⟨𝑣l|} образует базис в пространстве линейных операторов (см. упр. A.42), образует его и Q.

Решение для упражнения 5.82. Данное утверждение — это прямое обобщение упр. 5.80.