Отличная квантовая механика

• Начальное состояние есть |Ψ₁⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |V⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние V, равна 2/3.

• Начальное состояние есть |Ψ₂⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |H⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть ⟨H|Ψ₂⟩ = |V⟩. Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние V, равна 1/4.

• Начальное состояние есть |Ψ₂⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |V⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть ⟨V|Ψ₂⟩ = 0.

Таким образом, общая ненормированная матрица плотности Боба равна

c) Состояние |Ψ₁⟩, которое возникает с вероятностью 3/5, может быть записано как

Если результат измерения Алисы неизвестен, это эквивалентно ситуации, когда ее фотон потерян, так что фотон Боба представляет собой смесь ненормированных состояний и При этом, если фотон Алисы потерян, тогда как ансамбль находится в состоянии |Ψ₂⟩ (вероятность которого равна 2/5), фотон Боба находится в состоянии |V⟩. Этот ансамбль соответствует оператору плотности

Метод II: использование матрицы плотности и аппарата обобщенных измерений

a) Оператор плотности начального состояния равен

POVM-элемент детектора Алисы, соответствующий выходному состоянию H, равен, как было выяснено в упр. 5.67, Отсюда следует, что

Теперь, взяв след по фотону Алисы, найдем матрицу плотности фотона Боба.

b) POVM-элемент детектора Алисы в данном случае равен

Выбрасывая фотон Алисы, находим

c) Взяв частичный след двусоставной матрицы плотности (Р5.24) по фотону Алисы, находим:

Мы видим, что результаты, полученные обоими методами, согласуются друг с другом и что матрица плотности из пункта c) представляет собой сумму матриц из пунктов a) и b), как и ожидалось. Кроме того, след матрицы плотности из пункта c), задающей состояние фотона Боба независимо от результата измерения Алисы, равен единице, что тоже ожидалось.

Решение для упражнения 5.71

a) В случае, если измерение дает результат |𝑣i⟩, ненормированный оператор плотности системы становится равным (упр. 5.33). Случай, в котором измерение дает результат |𝑣i⟩ и при этом скремблер указывает на выходное состояние j, соответствует ненормированному оператору плотности Просуммировав по всем i, получаем матрицу плотности, соответствующую событию наблюдения выходного состояния j:

b) Используя данное уравнение при находим для ненормированных результатов измерения:

Следы этих матриц плотности дают вероятности реализации каждого из выходных состояний детектора. Их сумма равна единице, и это согласуется с тем, что одно из выходных состояний всегда реализуется.

Чтобы выполнить последнюю часть задания, используя POVM, найденную в упр. 5.67, мы получим выражения:

Решение для упражнения 5.72. Нормируя первый результат упр. 5.71, b), получаем:

Повторное измерение дает следующие ненормированные матрицы:

Вероятности каждого результата равны следам

Решение для упражнения 5.73

a) Фотон, попадающий в первый светоделитель, с равной вероятностью проходит его или отражается: Рассмотрим эти случаи по отдельности.

 Если фотон проходит, он измеряется в каноническом базисе. Тогда вероятность получить результаты 1 и 2 равна соответственно

 Если фотон отражается, он измеряется в диагональном базисе. Тогда вероятность получения результатов 1 и 2 равна соответственно

Теперь, воспользовавшись теоремой полной вероятности (Б.6), находим:

b) Пусть POVM-элемент для выхода j-го детектора равен Тогда имеет место равенство

Сравнивая его с результатом пункта a), находим:

Как и ожидалось,

Решение для упражнения 5.74

a) Мы полагаемся на тот факт, что вероятность (5.39) — это действительное число для любого физического состояния Для начала установим где {|𝑣k⟩} — произвольный ортонормальный базис гильбертова пространства. Тогда имеет место равенство

оно показывает, что все диагональные элементы (Fj)kk матрицы ˆ действительны. Затем докажем, что недиагональные элементы в любой паре (Fj)kl и (Fj)lk являются комплексно сопряженными между собой. Рассмотрим состояния где и Для этих состояний и Отсюда вытекает, что:

Поскольку, как мы выяснили, и (Fj)kk, и (Fj)ll действительны, из приведенных выше выкладок следует, что

А значит, Im(F_j)_kl = −Im(F_j)_lk и Re(F_j)_kl = Re(F_j)_lk, т. е. (F_j)_kl = (F_j)^*_lk.

b) Предположим, элемент POVM не является неотрицательным, т. е. существует состояние |ψ⟩, такое что Но эта величина, согласно (5.39), равна вероятности наблюдения j-го выходного состояния детектора при измерении состояния |ψ⟩. Поскольку отрицательные вероятности невозможны, мы получили противоречие.

c) Допустим, мы производим измерение физического состояния с матрицей плотности Суммируя по всем возможным состояниям детектора после измерения, мы можем записать, пользуясь (5.39):