Отличная квантовая механика

Обратите внимание, что мы не включаем явно вероятности в сумму, поскольку состояния ненормированны, так что вероятности их существования уже включены в их матрицы плотности (см. упр. 5.4). Выражение (5.15) — это матрица оператора (Р5.7) в базисе {|𝑣_m⟩}.

Решение для упражнения 5.36. Начальное состояние |+⟩ имеет оператор плотности |+⟩⟨+|, что соответствует матрице в каноническом базисе и в диагональном. После измерения в каноническом базисе это состояние становится полностью смешанным, т. е. в обоих базисах. Мы видим, что действие измерения на матрицу плотности, записанную в каноническом базисе, соответствует устранению недиагональных элементов. Однако если матрица плотности записана в диагональном базисе (т. е. не в базисе измерения), то диагональные элементы при измерении изменяются.

Решение для упражнения 5.37. Записав определение наблюдаемого оператора (1.12) в виде получаем

где — это вероятность проецирования на собственное состояние |𝑣_m⟩ оператора

Решение для упражнения 5.38. Используя дифференциальное уравнение (5.7) для эволюции матрицы плотности в представлении Шрёдингера, получаем:

Теперь воспользуемся цепным правилом для следа [упр. 5.29(b)], чтобы вывести

Решение для упражнения 5.39

a) Записываем в соответствии с определением оператора плотности (5.1); здесь |Ψ_i⟩ — двусоставные состояния (чистые, но необязательно разделимые). Как мы выяснили в главе 2 [см. (2.22)], измерение Алисой состояния |Ψ_i⟩, регистрирующее элемент |𝑣_m⟩ ее измерительного базиса, преобразует |Ψ_i⟩ в ненормированное состояние Соответственно, полная матрица плотности становится

Часть этого двусоставного состояния, относящаяся к Бобу, есть

b) Если результат измерения Алисы неизвестен, то Боб получает вероятностный ансамбль, состоящий из ненормированных состояний с различными m, так что соответствующий оператор плотности представляет собой их сумму (см. упр. 5.4):

Решение для упражнения 5.40

Для состояния из упр. 2.45, a)

a) Ансамблевое описание фотона Боба, которое было найдено в упр. 2.45 для измерений Алисы в каноническом базисе, — это «либо |H⟩ с вероятностью 1/5, либо |V⟩ с вероятностью 4/5». Это соответствует матрице плотности

Если Алиса измеряет в диагональном базисе, ансамбль Боба приобретает вид: «либо либо с вероятностями 1/2». Соответствующая матрица плотности

b) Используя частичный след, найдем, что

Это согласуется с пунктом a).

Для состояния из упр. 2.45, b)

a) Словесные описания фотона Боба, найденные при выполнении упр. 2.45, звучат так: «либо |+⟩ с вероятностью 2/3, либо |V⟩ с вероятностью 1/3» и «либо с вероятностью 5/6, либо |H⟩ с вероятностью 1/6». Эти ансамбли соответствуют одним и тем же матрицам плотности

и

что также совпадает с результатом пункта a).

Решение для упражнения 5.41. Для состояния Белла |Φ⁺⟩

что эквивалентно полностью смешанному состоянию. Для трех других состояний Белла вычисления аналогичны и результат тот же.

Решение для упражнения 5.42. Доказательство аналогично доказательству в упр. 5.26.

Решение для упражнения 5.43. Вычислим след оператора в базисе {|𝑣_m⟩ ⊗ |ω_n⟩}, где {|𝑣_m⟩} и {|ω_n⟩} — ортонормальные базисы в пространствах Алисы и Боба соответственно. Находим

Если левая сторона этого уравнения равна единице, то ей же должна быть равна и правая.

Решение для упражнения 5.44

a) Если (где состояния |ϕ⟩ и |ψ⟩ живут, соответственно, в гильбертовых пространствах Алисы и Боба), тогда для любого элемента |𝑣_m⟩ базиса Алисы имеет место равенство и отсюда

что является чистым состоянием. Рассуждения по пространству Боба аналогичны.

b) Предположим для начала, что запутанное двусоставное состояние является чистым: Можно разложить это состояние, как мы делали в подразд. 2.2.2: , где {|𝑣_i⟩} — ортонормальный базис в пространстве Алисы, а {|b_i⟩} — набор нормированных векторов в пространстве Боба. Взяв частичный след этого состояния над гильбертовым пространством Алисы, получаем

Если |Ψ⟩ запутано, то по крайней мере два из |b_i⟩ различны, так что смешано.

Для не-чистого имеет место равенство Это статистический ансамбль смешанных состояний, который, как мы показали в упр. 5.22, не может быть чистым.

Решение для упражнения 5.45. Предположим, система находится в начальном состоянии а начальная матрица плотности прибора равна |ω₁⟩⟨ω₁|. Измерение фон Неймана преобразует систему и прибор по схеме поэтому в результате мы получим состояние

Находим частичный след по гильбертову пространству прибора в базисе {|ω_k⟩}:

что соответствует диагональной матрице плотности в базисе {|𝑣_k⟩}.

Решение для упражнения 5.46. Для математическое ожидание наблюдаемого Паули равно

Рассуждения для y- и z-компонентов вектора Блоха аналогичны.

Решение для упражнения 5.48