Отличная квантовая механика

Для всех i состояние |ψ_i⟩ нормированно, так что |⟨ψ_i|ψ_i⟩|² ≤ 1 в силу неравенства Коши — Буняковского. Более того, поскольку не все |ψ_i⟩ одинаковы, это неравенство строгое (|⟨ψ_i|ψ_i⟩|² ≤ 1) по крайней мере для одного i. Отсюда

т. е. pr_ψ < 1, что противоречит нашему предположению.

Решение для упражнения 5.7. На основе результата упр. 5.6 мы видим, что состояния a) и b) чистые, а c) и d) — нет.

Решение для упражнения 5.8. Для любого базиса измерений {|𝑣_m⟩} имеет место равенство

Решение для упражнения 5.9. Как мы выяснили при выполнении упр. 5.5, все эти состояния имеют одинаковую матрицу плотности что соответствует полностью смешанному состоянию.

Решение для упражнения 5.10. Воспользовавшись результатом упр. 4.27, находим:

Смесь этих трех состояний описывается матрицей

что соответствует полностью смешанному состоянию.

Решение для упражнения 5.11. Этот результат следует из упр. 5.2. Однако его можно доказать и математически. Используя определение матрицы плотности (5.1), мы находим для ее диагональных элементов в базисе {|𝑣_m⟩}:

Поскольку ∀i p_i ≥ 0, имеет место неравенство ρ_mm ≥ 0. Более того, раз каждое |ψ_i⟩ нормированно, то Отсюда

Решение для упражнения 5.12

a) Недиагональный элемент

можно рассматривать как скалярное произведение векторов[150]

Тогда диагональные элементы и равны квадратам абсолютных величин этих векторов |a|₂ и |b|₂. Применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем искомый результат.

b) Для чистого состояния |ψ⟩ недиагональные элементы равны ρ_nm = ⟨𝑣_m|ψ⟩⟨ψ|𝑣_n⟩, а диагональные — ρ_mm = |⟨𝑣_m|ψ⟩|₂ и ρ_nn = |⟨𝑣_n|ψ_i⟩|₂. Подставив эти выражения в неравенство (5.3), мы видим, что его правая и левая части стали равными.

Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что есть смешанный ансамбль состояний, включающий в себя по крайней мере два неравных элемента, которые мы обозначим |ψ₁⟩ и |ψ₂⟩. Разложения этих элементов по базису {|𝑣_i⟩} должны быть разными, а это означает существование пары базисных элементов |𝑣_m⟩ и |𝑣_n⟩, таких что

Сказанное подразумевает, в свою очередь, что векторы и не коллинеарны, поэтому неравенство Коши — Буняковского не может стать равенством (упр. A.26).

Решение для упражнения 5.15. Воспользовавшись определением матрицы плотности (5.1), запишем для любого из ее элементов

так что оператор плотности является эрмитовым.

Решение для упражнения 5.16. Возможность спектрального разложения (5.4) следует из того, что оператор плотности является эрмитовым [см. упр. A.60]. Результаты  получаются потому, что диагональные элементы представляют собой вероятности результатов измерений для ортогонального базиса, в котором записана матрица плотности (упр. 5.2).

Решение для упражнения 5.17

a) |H⟩⟨H| (чистое состояние);

b) (x|H⟩ + y|V⟩)(x_*⟨H| + y_*⟨V|) (чистое состояние);

c) (полностью смешанное состояние);

d) Решив характеристическое уравнение, находим собственные значения 3/4 и 1/4, а также соответствующие им собственные состояния и Следовательно, оператор плотности равен:

Решение для упражнения 5.18. Матрица плотности чистого состояния |ψ⟩ диагональна в любом ортонормальном базисе, который содержит |ψ⟩ в качестве одного из своих элементов. В этом базисе

где единственный ненулевой матричный элемент соответствует элементу |ψ⟩ этого базиса.

Решение для упражнения 5.19. Согласно упр. 5.16, все собственные значения (эрмитова) оператора плотности неотрицательны, а это означает, что оператор плотности также неотрицателен, как показано в упр. A.72.

Решение для упражнения 5.20

a) В фоковском базисе:

b) В координатном базисе:

Этот результат мы получили, воспользовавшись волновыми функциями ψ₀(X) и ψ₁(X) первых двух фоковских состояний, которые задаются уравнениями (3.107) и (3.108) соответственно.

Решение для упражнения 5.21

a) После приведения к диагональному виду все элементы унитарного оператора, согласно упр. A.83, имеют абсолютное значение 1. Но при этом, как мы выяснили в упр. 5.16, диагональные элементы оператора плотности положительны и в сумме дают 1. Эти два условия несовместимы для любого гильбертова пространства размерности больше единицы.

b) Если — чистое состояние, то Чтобы доказать обратное утверждение, будем исходить из того, что — спектральное разложение Тогда Равенство подразумевает, что q_i равно либо нулю, либо единице для любого i. Поскольку для нормированного состояния то только один из q_i равен единице, остальные же равны нулю. Это означает, что — чистое состояние.

Решение для упражнения 5.22

a) Разложим каждый элемент ансамбля в виде, аналогичном (5.1):