Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 4.63. Согласно табл. 2.3, операция, которую Бобу следует произвести — или — зависит от того, что выдаст измерение Белла у Алисы: |Φ⁺⟩, |Φ^—⟩, |Ψ⁺⟩ или |Ψ^—⟩. Чтобы реализовать эти операции, используя прецессию спина в магнитном поле, мы можем применить результат упр. A.94, который при θ = π/2 принимает вид где j может быть равно x, y или z. Оператор соответствует эволюции под действием гамильтониана в течение времени τ. Используя (Р4.40), находим, что такой гамильтониан получается при действии на спин электрона магнитным полем в направлении j.

Решение для упражнения 4.64. По аналогии с упр. 4.62 запишем

Чтобы найти эволюцию матрицы спинового вектора, запишем уравнение Шрёдингера в матричном виде подобно (1.32):

получая таким образом (4.81).

Решение для упражнения 4.65. Состояние |ψ(t)⟩ с матрицей

в стационарном базисе соответствует вектору Блоха с полярными координатами (θ, φ). Во вращающемся базисе, согласно уравнениям (4.83), это состояние характеризуется матрицей

поэтому соответствующий блоховский вектор имеет полярные координаты (θ, φ + ωt).

Решение для упражнения 4.66. Подставив уравнения (4.83) в уравнения (4.81), находим

Домножив обе стороны уравнений (Р4.43a,b) на соответственно и перенеся второе слагаемое из левой части каждого уравнения в правую, мы получаем

Теперь, выразив cosωt = (e^iωt + e^—iωt)/2, выводим уравнения (4.84).

Решение для упражнения 4.67. В условиях приближения вращающейся волны уравнения (4.84) принимают вид

где мы подставили Ω = γB_rf/2. Это такая же система дифференциальных уравнений, как и та, что мы получим, записав уравнение Шрёдингера в матричном виде для состояния и гамильтониана (4.85):

Решение для упражнения 4.68. Гамильтониан, связанный с полем (4.87), вычисляется через уравнение (Р4.40) как

что то же самое, что (4.85).

Решение для упражнения 4.69. Как видно из рис. 4.10, a, вектор Блоха в нижней точке траектории имеет сферические координаты (θ = 2θ₀, φ = 0). Этому соответствует состояние

Решение для упражнения 4.70. Эта задача эквивалентна упр. 4.62(c) при Эволюция состояния задается уравнением (Р4.41), а вероятности получения состояний «спин-вверх» и «спин-вниз» — уравнениями (Р4.42). Наибольшее значение pr↓ наблюдается при sin²(Ω_Lt/2) = 1 (т. е. когда Ω_Lt = π, 3π, …) и равно в соответствии с упр. 4.69. Например, при имеем так что

Решение для упражнения 4.71

a) Воспроизводя решение упр. 4.66, но применив cos(ωt + β) = (e_iωt+iβ + — e_−iωt+iβ)/2, мы получаем следующие дифференциальные уравнения для эволюции во вращающемся базисе:

Пренебрегая быстро осциллирующими членами, находим гамильтониан вращающейся волны и раскладываем его по операторам Паули:

Этот гамильтониан можно записать как с фиктивным магнитным полем

В резонансе (Δ = 0) оно направлено горизонтально под углом —β к оси x.

b) Гамильтониан (4.80) принимает вид

эволюция во вращающемся базисе —

а гамильтониан вращающейся волны —

Соответствующее фиктивное магнитное поле

В резонансе оно направлено горизонтально под углом —β к оси y, или π/2 — β к оси x.

В обоих случаях — как в (a), так и в (b) — амплитуда поля задается уравнением (4.86).

Мы видим, что изменение полярного угла и фазы амплитуды rf-поля имеет во вращающемся базисе аналогичный эффект: оно изменяет полярный угол фиктивного магнитного поля.

Решение для упражнения 4.72. В этом случае гамильтониан (4.80) становится диагональным:

Такая эволюция может изменить только квантовые фазы компонентов состояния, соответствующих базисным векторам «спин-вверх» и «спин-вниз», но не их абсолютные значения.

Решение для упражнения 4.73. Чтобы определить оператор, задаваемый π/2-импульсом с произвольной фазой β, воспользуемся результатом упр. 4.71, а) при Δ = 0:

где — единичный вектор. Теперь, с учетом упр. A.93, находим:

Конкретно в применении к π/2-импульсу (Ωt = π/2) этот результат принимает вид

Применим последовательность из двух таких импульсов с фазами 0 и β к состоянию «спин-вверх». В результате получим

так что окончательная вероятность состояния «спин-вниз» pr_↓ = cos²(β/2). Случай β = 0 соответствует двум π/2-импульсам, примененным подряд безо всякого фазового сдвига и образующим потому один π-импульс, так что спин переворачивается: pr_↓ = cos²0 = 1. Напротив, сдвиг фазы на β = π означает, что фиктивные магнитные поля (Р4.49) во время первого и второго импульсов имеют противоположные направления, поэтому прецессия при этих импульсах будет идти тоже в противоположных направлениях. Следовательно, частица вернется в состояние «спин-вверх»: pr_↓ = cos²(π/2) = 0.

Решение для упражнения 4.74