Отличная квантовая механика

a) Применение π/2-импульса к состоянию «спин-вверх» преобразует его в состояние со спином, направленным вдоль оси y. После выключения rf-поля фиктивное магнитное поле (4.87) станет параллельно оси z, а блоховский вектор начнет прецессировать вокруг этой оси с частотой —Δ, так что его полярный угол в момент времени t будет равен[149] π/2 + Δt. Декартовы координаты этого вектора

Поскольку (упр. 4.48), а магнитный момент связан со спином выражением имеет место равенство

b) Как мы знаем из упр. 4.65, блоховские векторы в стационарном и вращающемся базисах связаны преобразованием поворота на угол ωt вокруг оси z. В пункте a) мы выяснили, что блоховский вектор во вращающемся базисе прецессирует с частотой —Δ вокруг этой оси, поэтому частота прецессии в стационарном базисе равна —Δ + ω = Ω₀, а значит, полярный угол в момент времени t равен π/2 — Ω₀t. Следуя логике пункта a), находим вектор магнитного момента:

Решение для упражнения 4.75. Воспользовавшись результатом упр. 4.74(a), мы усредняем по всем отстройкам, чтобы найти

При вычислении интеграла для мы учли тот факт, что подынтегральное выражение представляет собой нечетную функцию. При вычислении мы использовали результат упр. Г.9(c).

Решение для упражнения 4.76. Рассмотрим сначала динамику блоховского вектора отдельного спина, следуя логике рассуждений, примененных для упр. 4.74, a). В момент времени t₀, до π-импульса, полярный угол этого вектора φ (t₀) равен π/2 + Δt₀. Упомянутый π-импульс поворачивает спин на 180° вокруг оси x, давая в результате вектор с полярным углом φ′ (t₀) = —π/2 — Δt₀. Этот вектор продолжает прецессировать с частотой —Δ, а значит, его полярный угол при t > t₀ равен φ (t) = —π/2 — Δt₀ + Δ(t — t₀) = —π/2 — 2Δt₀ + Δt, а декартовы координаты таковы:

Теперь, проинтегрировав y-компонент этого вектора по всем отстройкам, находим по аналогии с предыдущим упражнением, что

Решение для упражнения 4.77

1. Действие импульса площадью π/2 на состояние «спин-вверх» преобразует его в состояние со спином, направленным вдоль оси y, так что сферические координаты блоховского вектора составят (θ = π/2, φ = π/2). После этого радиочастотное поле выключается, вследствие чего фиктивное магнитное поле указывает вдоль оси z. За время t блоховский вектор провернется (в результате прецессии) вокруг этого поля на угол Δt, после чего его координаты станут (θ = π/2, φ = π/2 + Δt). То есть блоховский вектор будет располагаться в плоскости x — y под углом π/2 + Δt к оси x. Второй импульс площадью π/2 повернет его на прямой угол вокруг оси x по направлению к отрицательному концу оси z, так что получившийся в результате блоховский вектор будет располагаться в плоскости x — z под углом π/2 + Δt к оси x, т. е. под углом π/2 + (π/2 + Δt) = π + Δt по отношению к положительному направлению оси z. Следовательно, сферические координаты конечного блоховского вектора составят (θ = π + Δt, φ = 0), что соответствует спиновому состоянию Соответствующая вероятность состояния «спин-вниз» —

2. В упр. 4.73 мы вычислили оператор эволюции, связанный с импульсом площадью π/2. При β = 0 из уравнения (Р4.56) получаем этот оператор в таком виде: Чтобы найти оператор эволюции, связанный с интервалом между импульсами, заметим, что при отсутствии rf-поля гамильтониан вращающейся волны (4.85) принимает вид Эволюция под действием этого гамильтониана за время t дается унитарным оператором

Применив набор операторов, соответствующих последовательности Рамзея, к состоянию «спин-вверх», находим:

Это то же самое состояние, которое мы нашли в пункте a), с точностью до общего фазового сдвига.

Глава Р5. Решения к упражнениям главы 5

Решение для упражнения 5.2. Для каждого компонента |ψ_i⟩ ансамбля (5.1), вероятность наблюдать |𝑣_m⟩ равна pr_m|i = |⟨𝑣_m|ψ_i⟩|² = ⟨𝑣_m|ψ_i⟩⟨ψ_i|𝑣_m⟩. Поскольку каждое |ψ_i⟩ возникает с вероятностью p_i, вероятность наблюдать |𝑣_m⟩ в ансамбле (5.1) равна

Здесь мы воспользовались уравнением (Б.6) для суммы условных вероятностей.

Решение для упражнения 5.3. Записав матрицу плотности в каноническом базисе как находим, с использованием уравнения (5.2):

Решение для упражнения 5.4. Как было определено в разд. 1.8, ненормированное состояние |ψ_i⟩ соответствует физическому состоянию |ϕ_i⟩ = |ψ_i⟩/‖|ψ_i⟩‖, существующему с вероятностью p_i = ‖|ψ_i⟩‖². Воспользовавшись определением оператора плотности (5.1), находим

Решение для упражнения 5.5

Решение для упражнения 5.6. Предположим, что ансамбль (5.1) представляет некоторое чистое состояние |ψ⟩ (т. е. равняется |ψ⟩⟨ψ|). Измерим этот ансамбль в ортонормальном базисе, содержащем |ψ⟩ в качестве одного из элементов. Тогда вероятность зарегистрировать |ψ⟩ равна