Отличная квантовая механика

с То есть ансамбль, в котором каждый существует с вероятностью p_i, эквивалентен смеси чистых состояний |ψ_ij⟩, возникающих, соответственно, с вероятностями p_i p_ij. Этот ансамбль описывается оператором плотности

что совпадает с (5.6).

b) Пусть один из компонентов ˆ не является чистым. Тогда его матрица плотности в любом базисе должна содержать по крайней мере два ненулевых диагональных элемента. Поскольку все диагональные элементы для каждого неотрицательны [упр. 5.11(a)], матрица должна в этом случае тоже содержать по крайней мере два ненулевых диагональных элемента. Но, как мы выяснили в упр. 5.18, если бы был чистым, то существовал бы базис, в котором его матрица плотности содержала бы только один элемент. Пришли к противоречию.

Решение для упражнения 5.23

a) Используя представление оператора плотности как статистического ансамбля (5.1) и применяя уравнение Шрёдингера (1.31), получаем

b) Воспользовавшись уравнениями (1.29) и (1.30), находим

Решение для упражнения 5.24

a) Так как а |E₁⟩ и |E₂⟩ суть собственные состояния гамильтониана, имеем

поэтому

b) Воспользовавшись (5.8), получаем

Решение для упражнения 5.25

a) Гамильтониан равен где Ω_L = γB — частота Лармора. Оператор эволюции для этого гамильтониана был найден в упр. 4.62(c). Приравняв θ₀ к π/2, получаем

Отсюда

Соответственно,

b) Начальная матрица плотности равна:

Применив оператор эволюции непосредственно к матрице плотности согласно (5.8), мы получим тот же результат:

c) Запишем уравнение (5.7) для матрицы плотности и гамильтониана

Это уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравнений:

Ее можно упростить, приняв x = ρ_↑↑ − ρ_↓↓ и y = ρ_↑↓ − ρ_↓↑. Вычитая четвертое уравнение из первого, а третье из второго, находим:

Решение этой системы в общем виде выглядит следующим образом:

Из начальной матрицы плотности находим, что ρ_↑↓(0) = ρ_↓↑(0) = 0, а отсюда B = 0. Далее, воспользовавшись тем, что мы получаем отсюда Учитывая правило ρ_↑↑ + ρ_↓↓ = 1 [из упр. 5.11, b)], выводим

Теперь найдем недиагональные элементы Поскольку [из уравнения (Р5.3)], находим

причем C = 0 из начальной матрицы плотности. Наконец,

В итоге получаем, что матрица плотности равна

Воспользовавшись тригонометрическими тождествами и обнаруживаем, что наш результат идентичен таковому, полученному методами a) и b).

Решение для упражнения 5.26. Пусть {|𝑣_i⟩} и {|ω_i⟩} — два различных базиса в 𝕍. Тогда след матрицы в базисе {|𝑣_i⟩} равен

Вставляя единичные операторы, имеем

откуда вытекает, что след не зависит от базиса.

Решение для упражнения 5.27. Это утверждение эквивалентно утверждению упр. 5.11, b).

Решение для упражнения 5.29

a) Это следует из упр. 5.28.

b) Это следует из пункта a), если обозначить Â₁…Â_k—1 и

Решение для упражнения 5.30. Для матриц Паули имеют место равенства

В первом случае след равен 2i, во втором он принимает значение –2i.

Решение для упражнения 5.31. Используя упр. 5.28 и разложение единичного оператора, получаем

Решение для упражнения 5.32. Если — это чистое состояние, то так что Если состояние не является чистым, то его матрица плотности в диагональном виде > содержит по крайней мере два ненулевых элемента. Поскольку имеет место неравенство ρ_ii < 1 для любого i и, следовательно, Поэтому

Для доказательства неравенства рассмотрим скалярное произведение следующих векторов в ℝ^N: и Согласно неравенству Коши — Буняковского,

или

Левая часть данного неравенства — это Следовательно, причем неравенство превращается в равенство при т. е. для полностью смешанного состояния

Решение для упражнения 5.33

a) Вспомним еще раз, что матрица плотности — это статистический ансамбль чистых состояний (5.1). Как мы выяснили в подразд. 1.9.1, когда измерение выдает базисный элемент |𝑣_m⟩, каждый компонент ансамбля преобразуется как Весь ансамбль, соответственно, преобразуется следующим образом:

Здесь мы воспользовались эрмитовой природой оператора проекции.

b) Для каждого компонента |ψ_i⟩ этого ансамбля вероятность наблюдения |𝑣_m⟩ равна pr_m|i = |⟨𝑣_m|ψ_i⟩|₂, поэтому вероятность наблюдения |𝑣_m⟩ для полной матрицы плотности равна, согласно теореме полной вероятности (см. упр. Б.6),

Решение для упражнения 5.34. Проектор на |+45º⟩ — это оператор

Соответственно, используя матрицы плотности из упр. 5.1, мы находим

что согласуется с

Решение для упражнения 5.35. Из упр. 5.33 нам известно, что если при измерении получен результат |𝑣_m⟩, то результирующее ненормированное состояние задается выражением

Если результат измерения неизвестен, состояния образуют статистический ансамбль. Чтобы найти соответствующую матрицу плотности, мы должны просуммировать по всем m: