Отличная квантовая механика

a) Среднее по ансамблю неравных геометрических векторов длины 1 имеет длину менее 1. Чтобы доказать это строго, находим для длины блоховского вектора

Мы воспользовались неравенством Коши — Буняковского. Оно строгое, поскольку по крайней мере два из соответствуют неравным состояниям и потому неколлинеарны. Мы учли также, что для чистого состояния |R_i| = 1.

b) Полностью смешанное состояние представляет собой равную смесь состояний |↑⟩ и |↓⟩. Блоховский вектор состояния |↑⟩ указывает вдоль оси z в положительном направлении, а блоховский вектор состояния |↓⟩ — в отрицательном. Оба эти вектора имеют длину 1, так что их сумма равна нулю.

Решение для упражнения 5.49. Из определения (5.20) блоховского вектора ансамбля следует, что

Решение для упражнения 5.50. Матрица плотности, найденная в упр. 5.25, равна

Компоненты блоховского вектора, связанного с этим состоянием, таковы:

Эти уравнения описывают траекторию блоховского вектора, представляющую собой окружность радиуса 1/2 в плоскости y-z, что соответствует прецессии вокруг оси x.

Решение для упражнения 5.51. При заданном спектральном разложении

мы находим

а отсюда следует, что

Чтобы найти длину блоховского вектора, соответствующего состоянию (Р5.12), заметим, что блоховские векторы ортогональных чистых состояний |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩ противоположны по направлению (упр. 4.51) и имеют длину 1. Геометрическая сумма этих векторов с весами p и 1 — p дает вектор длиной

Объединяя уравнения (Р5.13) и (Р5.14), получаем уравнение (5.23).

Решение для упражнения 5.52. Рассмотрим произвольный вектор длины 0 < |R| ≤ 1. Следуя логике предыдущего упражнения, если вектор является блоховским для нормированного состояния то это состояние должно иметь спектральное разложение

Здесь |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩ — ортогональные чистые состояния, такие что их блоховские векторы и удовлетворяют уравнению

при p ≥ 1/2. Векторы и имеют длину 1 и противоположны по направлению. Следовательно, чтобы удовлетворять уравнению (Р5.16), эти векторы должны быть коллинеарны с отсюда следует, что (Р5.16) имеет только одно решение: и p = (1 + |R|)/2. Эти векторы единственным образом определяют соответствующие состояния |𝑣₁⟩ и |𝑣₂⟩, которые, в свою очередь, единственным образом определяют оператор плотности (Р5.15), блоховским вектором которого является

Решение для упражнения 5.53. Предположим, в заданный момент времени t спиновое состояние задается матрицей

Через некоторый короткий интервал Δt состояние декогерирует, т. е. приобретает вид

с вероятностью Δt/T₂ и остается прежним с вероятностью 1 — Δt/T₂. Соответственно, матрица плотности в момент t + Δt:

Отсюда следует, что изменение недиагональных элементов за время Δt можно записать как

Δρ_ij(t) = −(Δt/T₂)ρ_ij(t).

Разделив обе части этого уравнения на Δt, получаем уравнение (5.24) в пределе при Δt → 0.

Решение для упражнения 5.54. Если постоянное поле было включено достаточно долго, чтобы спины успели термализоваться, отношение их вероятностей будет определяться законом Больцмана:

где массу и множитель Ланде протона можно взять из табл. 4.3. Поскольку это отношение близко к единице, обе вероятности близки к 0,5, так что pr_↓ − pr_↑ ≈ −0,55 × 10⁻⁵.

Решение для упражнения 5.55. Решив систему уравнений

находим

Согласно (5.20), это соответствует вектору Блоха длины

указывающему точно вверх.

Решение для упражнения 5.57. Первый член в уравнении (5.32) относится к нормальной шрёдингеровой эволюции, см. упр. 5.49. Дополнительный член, появляющийся в результате релаксации, можно вычислить согласно

Сведя вместе уравнения (5.24) и (5.30), запишем

или, в явном виде,

Исходя из этого результата, мы можем вычислить второе слагаемое в правой части уравнения (Р5.17) для каждого оператора Паули:

Соотнеся компоненты блоховского вектора с элементами матрицы плотности согласно уравнению (5.22), получим (5.33).

Решение для упражнения 5.58. Мы можем начать с того, что перепишем (5.33) в явном виде для каждого компонента блоховского вектора:

В отсутствие радиочастотного поля фиктивное магнитное поле (4.87) имеет только z-компонент, который определяется отстройкой: B_z = —Δ/γ. Поэтому дифференциальные уравнения (Р5.20) упрощаются до

В том, что эти уравнения решаются соотношениями (5.34), можно убедиться прямой подстановкой.

Решение для упражнения 5.60. Будем работать во вращающейся системе отсчета. Поскольку rf-поля нет, мы можем выбрать частоту вращения базиса, равную частоте Лармора, так что отстройка Δ обнуляется. Тогда производная по времени блоховского вектора определяется только релаксационными членами уравнения (Р5.21).

Полярные координаты (θ, 0) начального блоховского вектора соответствуют декартовым координатам Производная по времени длины блоховского вектора дается выражением