Отличная квантовая механика

где мы установили при температуре абсолютного нуля. Аппроксимируя sin²θ ≈ θ², cosθ ≈ 1 — θ²/2, cosθ ≈ 1 — θ² для малых θ, получаем

Данная производная не может быть положительной, потому что длина блоховского вектора при t = 0 уже является максимально возможной и равна 1. Это означает, что –2/T₂ + 1/T₁ ≤ 0 или T₂ ≤ 2T₁.

Решение для упражнения 5.61. Сначала проследим эволюцию блоховского вектора, связанного с конкретной отстройкой Δ, примерно так, как мы действовали при выполнении упр. 4.74. Применив импульс площадью π/2 к состоянию «спин-вверх», мы преобразуем его в состояние со спином, направленным вдоль оси y, так что Последующая эволюция управляется уравнениями (5.34):

В момент времени t = t₀ π-импульс разворачивает спин на 180º вокруг оси x, что дает в результате

Последующая эволюция приводит к

Теперь, проинтегрировав компоненты этого вектора по всем отстройкам, находим, по аналогии с упр. 4.76,

Решение для упражнения 5.62. Состояние теплового равновесия характеризуется блоховским вектором Начальный π-импульс перевернет этот вектор, так что Последующая эволюция, согласно уравнениям (5.34), проходит так:

Мы видим, что когда или t = T₁ ln2.

Решение для упражнения 5.63

μ_HH = 3/4, μ_VH = 1/4, μ_HV = 1/3, μ_VV = 2/3,

Решение для упражнения 5.64. Σ_jμ_ji представляет собой сумму вероятностей для всех возможных выходных состояний при заданном i-м результате квантового измерения. Поскольку для каждого измерения показывается ровно одно выходное состояние, эта сумма равна единице.

Решение для упражнения 5.65. Предположим, что в детектор попадает n фотонов. Каждый из них порождает лавину с вероятностью η. Состояние «нет щелчка» возникает, если ни один из фотонов не породил лавины частиц, что происходит с вероятностью (1 — η)ⁿ. Отсюда μ_{нет щелчка, n} = (1 — η)ⁿ. Поскольку μ_{нет щелчка, n} + μ_{щелчок, n} = 1 (упр. 5.64), имеет место равенство μ_{щелчок, n} = 1 — (1 — η)ⁿ.

Решение для упражнения 5.66. Эрмитова природа элементов POVM следует из того, что любой проекционный оператор (где |𝑣_i⟩ — это соответствующий базисный вектор) является эрмитовым, а все μ_ji действительны.

Чтобы показать неотрицательность, запишем для произвольного ненулевого вектора |ψ⟩:

Правая часть этого выражения неотрицательна, потому что каждая μ_ji — вероятность. Это означает, что неотрицателен, согласно определению A.22.

Решение для упражнения 5.67

a) Воспользовавшись результатом упр. 5.63 и просуммировав по всем возможным результатам квантового измерения согласно (5.36), находим

b) Аналогично, применив результаты упр. 5.65, получаем

Решение для упражнения 5.68

В последнем равенстве мы использовали разложение единицы (A.26).

Решение для упражнения 5.69

a) Воспользовавшись теоремой полной вероятности (упр. Б.6), находим:

b) Аналогично,

где — это состояние Боба в случае, если Алиса получила при измерении |𝑣_i⟩.

Решение для упражнения 5.70

Метод I: использование чистого состояния и формульного аппарата проективных измерений

a) Воспользуемся моделью, изображенной на рис. 5.2, т. е. будем считать, что детектор Алисы состоит из идеального устройства измерения квантовой поляризации, за которым размещен скремблер. Существует четыре варианта, которые могут дать H на выходе детектора Алисы.

• Начальное состояние есть |Ψ₁⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |H⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние H, равна 3/4.

• Начальное состояние есть |Ψ₁⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |V⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние H, равна 1/3.

• Начальное состояние есть |Ψ₂⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |H⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть ⟨H|Ψ₂⟩ = |V⟩. Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние H, равна 3/4.

• Начальное состояние есть |Ψ₂⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |V⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть ⟨V|Ψ₂⟩ = 0.

Таким образом, общая ненормированная матрица плотности Боба равна

b) Рассуждая аналогично в случае, когда измерение Алисы дало 𝑣, мы находим следующий ансамбль:

• Начальное состояние есть |Ψ₁⟩, а квантовое поляризационное измерение Алисы дает |H⟩. В этом случае ненормированное состояние фотона Боба есть Вероятность того, что скремблер Алисы отобразит ее результат на выходное состояние V, равна 1/4.