Отличная квантовая механика

Для элементов матрицы отметим, что сферические гармоники содержат множитель eⁱφ, тогда как не зависит от φ. Кроме того, имеют место равенства x = rsinθcosφ = rsinθ(e^iφ + e^−iφ)/2 и y = rsinθcosφ = rsinθ(e^iφ + e^−iφ)/2i Это означает, что подынтегральные выражения для ⟨1,0,0 |ŷ|2,1,0⟩ и ⟨1,0,0 |ẑ|2,1,±1⟩ содержат только члены, пропорциональные либо eⁱφ, либо e^—iφ, поэтому они обнуляются, когда проводится интегрирование по всем значениям φ.

Таким образом, единственными элементами матрицы, которые, возможно, не обнулятся, являются ⟨1,0,0 |ŷ|2,1,±1⟩ и ⟨1,0,0 |ẑ|2,1,0⟩.

Решение для упражнения 4.46. Матричные элементы операторов координат для атома водорода таковы:

где I_r(n, l, n′, l′) и I_a(l, m, l′, m′) обозначают, соответственно, радиальную и угловую части интеграла:

В применении к конкретным интересующим нас состояниям имеем

для радиальной части и

для угловой части. Соответственно

Решение для упражнения 4.47. Основное состояние атома водорода имеет главное квантовое число n = 1 и энергию, примерно равную постоянной Ридберга со знаком минус, согласно (4.59). Оно дважды вырожденное, как в упр. 4.39. У первого возбужденного состояния этого атома n = 2, так что оно вырожденно восемь раз; его энергия — около — Ry/4. Отношение вероятностей для атома находиться в одном из состояний с n = 2 и в одном из состояний с n = 1 равно

С таким крохотным отношением справедливо аппроксимировать p₁ ≈ 1. С учетом того, что вырожденность первого возбужденного уровня в четыре раза выше вырожденности основного уровня, вероятность нахождения атома в состоянии с n = 2 равна 4p₂/p₁ ≈ 3 × 10^–179.

Решение для упражнения 4.48

a) Решив уравнения (4.62) относительно θ и φ, находим:

θ = 2arccos|ψ_↑|; (Р4.35a)

φ = arg(ψ_↓/ψ_↑). (Р4.35b)

Это решение существует для любой пары (ψ↑, ψ↓), при условии что |ψ↑|² + |ψ↓|² = 1 и ψ↑ ∈ R. Оно единственно в пределах интервалов θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π)[146].

b) См. решение для упр. 4.28(a).

c) В упр. 4.28, b) мы выяснили, что При этом операторы Паули и компоненты спина для частиц со спином связаны соотношением (упр. 4.26). Сведя оба эти результата, находим, что

Решение для упражнения 4.49. Точка на поверхности блоховской сферы определяется двумя действительными числами. Однако подпространства с l ≥ 1 имеют размерности 2l + 1 ≥ 3. Это означает, что для задания каждого элемента такого подпространства необходимо по крайней мере три комплексных числа.

Решение для упражнения 4.51. Если точка A на сфере имеет полярные координаты (θ, φ), то противоположная точка находится в позиции (π — θ, π + φ). Им, согласно (4.62), соответствуют квантовые состояния

Отсюда ⟨ψ_A | ψ_B⟩ = 0.

Решение для упражнения 4.52

а) Согласно (1.5a), полуволновая пластинка с оптической осью, ориентированной под углом α, переводит горизонтально поляризованное состояние в состояние Убирая общий знак минус и согласуя данный результат с уравнениями (4.62), находим сферические углы соответствующего блоховского вектора: θ = 4α, φ = 0. Так что геометрическим местом получившихся поляризационных состояний на блоховской сфере является меридиан, пересекающийся с осью x (рис. Р4.1)[147]

b) Согласно (1.5b), оператор четвертьволновой пластинки преобразует состояние  в

Применив уравнения (Р4.35) к этому результату, получаем выражения для θ и φ. Соответствующее геометрическое место на сфере Блоха показано на рис. Р4.1. Для значений α = ±π/4 оно пересекает ось y, что соответствует двум круговым поляризациям.

Решение для упражнения 4.53. Как мы выяснили при решении упр. 4.28, собственные состояния проекции спина на вектор задаются выражениями

Проецируя Алисину часть состояния |Ψ^—⟩ на каждое из этих собственных состояний, находим для Боба:

Домножив состояния (Р4.37a,b) на фазовые множители — e^iφ и e^iφ соответственно, мы обнаруживаем, что эти состояния физически эквивалентны и соответственно. Иными словами, проецирование Алисой своей части состояния Белла |Ψ^—⟩ на любое состояние даст в локации Боба состояние с противоположным блоховским вектором. Это следствие изотропной природы |Ψ^—⟩ (упр. 2.9).

Множитель указывает, что оба события происходят с вероятностью 1/2.

Обратите внимание также, что некоторые частные случаи этой задачи были проанализированы в упр. 2.27 и 2.38.

Решение для упражнения 4.54. Пусть ω — угловая частота орбитального движения частицы. Тогда она совершает полный оборот за период T = 2π/ω. Проход заряда e через каждую точку данной орбиты за время T означает, что ток, связанный с этим движением, равен I = e/T = eω/2π. Площадь орбиты составляет A = πr², где r — радиус. Подставив эти величины в (4.64), находим для магнитного момента:

Примем также во внимание, что механический момент импульса частицы на орбите L = Mωr². Магнитный момент, таким образом, можно выразить как