Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 4.15

a) Наша цель — переписать декартовы выражения (4.20) для компонентов момента импульса в координатном базисе в сферических координатах. Для этого воспользуемся цепным правилом из дифференциального исчисления функций нескольких переменных:

Решив уравнения (4.11a), выразим сферические координаты через декартовы:

Чтобы вывести уравнения (4.24), мы должны не только продифференцировать уравнения (Р4.4), но и выразить результаты в сферических координатах. Находим:

Подставив эти производные в уравнения (Р4.3), получим искомый набор производных (4.24).

b) Уравнения (4.25) получаются путем подстановки результатов из пункта (a) в (4.20). Например:

c) Для квадратов компонентов момента импульса пользуемся (4.25) и находим:

Сложив все три выражения вместе, получаем:

Чтобы убедиться в эквивалентности этого результата уравнению (4.26), отметим, что его второе слагаемое

идентично второму слагаемому в (4.26). Кроме того, первое слагаемое в (4.26) можно переписать как

что совпадает с суммой первого и третьего слагаемых в уравнении (Р4.6).

d) Заметим, что в координатном базисе

Чтобы вычислить это выражение, перепишем (4.24) как

Решение для упражнения 4.16. Подставляя (4.27), (4.28) и (4.29) в уравнение Шрёдингера (4.23), находим в координатном базисе:

Воспользовавшись

и сократив Y_λ(θ, φ) с обеих сторон, получаем уравнение (4.44).

Решение для упражнения 4.17. Предположим, что множество {λ_i} собственных значений невырожденно. Из упр. 4.11 мы знаем, что коммутирует и с и с [которые, согласно (4.25), являются локальными операторами в 𝕐]. В соответствии с упр. 1.36 это означает, что существует ортонормальный базис (мы его обозначим в котором оба наблюдаемых и одновременно принимают диагональный вид, а также ортонормальный базис в котором одновременно принимают диагональный вид наблюдаемые и Поэтому имеет место равенство

Невырожденность λ_j подразумевает по определению, что а значит, два эти базиса совпадают. Получено противоречие.

Решение для упражнения 4.18

a) Компоненты момента импульса представляют собой эрмитовы операторы, так что и Следовательно,

b) Воспользовавшись результатом упр. 4.11, находим

с) Из

находим нужное соотношение:

Решение для упражнения 4.19

a) Чтобы проверить, является ли состояние собственным состоянием и подвергнем его действию этих операторов. Поскольку коммутирует с имеет место равенство:

Иными словами, есть собственное состояние с собственным значением λ.

Чтобы произвести аналогичное вычисление для перепишем полученное в упр. 4.18 выражение для коммутатора и следующим образом:

Видим, что действие оператора на состояние эквивалентно умножению этого состояния на (μ + ℏ), так что — это собственное состояние оператора с собственным значением (μ + ℏ).

b) Подобно вышесказанному, поскольку

имеет место равенство

так что — это собственное состояние оператора с собственным значением (μ — ℏ).

Решение для упражнения 4.20. Пусть Из предыдущего упражнения мы знаем, что |ψ⟩ — собственное состояние с собственным значением ℏ(μ + ℏ), т. е. |ψ⟩ = A|λ, μ + ℏ⟩, где A — некоторая константа. Нам нужно найти A. Для этого отметим, что и вычислим:

(в последнем равенстве мы воспользовались тем, что |λμ⟩ — это собственное состояние и и Однако же

⟨ψ|ψ⟩ = |A|₂⟨λ, μ + ℏ|λ, μ + ℏ⟩, = |A|₂ (Р4.13)

поскольку собственные состояния оператора момента импульса нормированы. Отсюда находим где α — произвольное действительное число.

Подобным образом для понижающего оператора имеет место равенство . Тогда, с одной стороны,

Решение для упражнения 4.21. Рассмотрим оператор Состояние |λμ⟩ — его собственное состояние с собственным значением λ — μ². Но этот оператор равен и потому неотрицателен (упр. A.87), так что все его собственные значения тоже должны быть неотрицательными (упр. A.72).

Решение для упражнения 4.22. Нам известно из упр. 4.20, что существование состояния |λμ⟩ подразумевает, через многократное применение повышающего оператора, существование цепочки состояний |λ, μ + jℏ⟩, где j — неотрицательное целое число. Но тогда в некоторой точке (μ + jℏ)² станет больше λ, а это, как мы выяснили в упр. 4.21, невозможно. Цепочка разрывается только в том случае, если существует такое значение j (мы обозначим его j₀), что Согласно уравнению (4.32), так происходит, если λ = [μ + j₀ℏ][μ + (j₀ + 1)ℏ].

Сходным образом, цепочка состояний, генерируемых понижающим оператором |λ, μ — kℏ⟩, разрывается только в том случае, если существует такое неотрицательное целое k₀, что λ = [μ — k₀ℏ][μ — (k₀ + 1)ℏ]. Удовлетворение условий разрыва обеих цепочек одновременно дает нам

[μ + j₀ℏ][μ + (j₀ + 1)ℏ] = [μ — k₀ℏ][μ — (k₀ + 1)ℏ].

Обозначив μ + j₀ℏ = x и μ — (k₀ + 1)ℏ = y, перепишем данное уравнение как

x(x + ℏ) = y(y + ℏ).

Поскольку должно выполняться условие x > y, уравнение имеет только одно решение: y = —(x + ℏ). Это означает

μ — (k₀ + 1)ℏ = —μ — (j₀ + 1)ℏ

или