Отличная квантовая механика

из чего, в свою очередь, следует, что

Определив мы видим, что λ = ℏ²l(l + 1), где число l должно быть неотрицательным полуцелым.

Теперь мы можем переписать (Р4.15) как μ = (l — j₀)ℏ = (—l + k₀)ℏ. Это означает, что μ = mℏ для заданного l, где m может принимать значения только от — l до l с шагом 1.

Решение для упражнения 4.24. Поскольку |l'm'⟩ — собственное состояние с собственным значением λ = ℏ²l'(l' + 1) и коммутирует с состояние — это собственное состояние с тем же собственным значением. Действительно, имеет место равенство

Поскольку собственные состояния образуют ортонормальный базис, должно быть ортогонально собственным состояниям с другими собственными значениями.

Те же рассуждения применимы ко всем остальным элементам матрицы.

Решение для упражнения 4.25. Так как состояние |lm⟩ — это собственное состояние и и можем записать

Действие повышающих и понижающих операторов на состояние |λm⟩ известно из упр. 4.20:

Наконец, x- и y-компоненты момента импульса могут быть записаны как линейные комбинации повышающего и понижающего операторов в соответствии с определением (4.31) последнего:

и отсюда

Решение для упражнения 4.27

a) Согласно постулату об измерениях, возможные значения, которые может дать измерение наблюдаемого, являются собственными значениями этого наблюдаемого. Найдя собственные значения матриц (4.34) и (4.35) для и мы получим множества (1) {ℏ/2, —ℏ/2} и (2) {ℏ, 0, —ℏ} соответственно.

b) Соответствующие нормированные собственные состояния — это

Решение для упражнения 4.28

a) Координаты вектора равны [см. уравнение (4.11a)] (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ). Следовательно, нам необходимо найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Воспользовавшись стандартным методом, находим собственные значения {ℏ/2, —ℏ/2} (ср. с упр. A.93) и соответствующие им нормированные собственные векторы

b) Используя тригонометрические тождества для косинуса и синуса двойного угла, получаем

так что в состоянии |↑_θϕ⟩. Доказательство для |↓_θϕ⟩ аналогично.

Решение для упражнения 4.29. Согласно уравнениям (Р4.18) и (Р4.19), находим

⟨lm|L_x|lm⟩ = ⟨lm|L_y|lm⟩ = 0

и

Такая же дисперсия получается для y-компонента момента импульса:

Поскольку в соответствии с упр. 4.11 [L_x, L_y] = iℏL_z то принцип неопределенности (1.21) принимает вид

Подставив найденные неопределенности, а также получаем:

или просто

[l(l + 1) — m₂] ≥ m₂.

Это соотношение непосредственно следует из того факта, что l|m|. Неравенство становится равенством при m = ±l, в этом случае

Решение для упражнения 4.30. Если Y (θ, φ) — это волновая функция собственного состояния оператора с собственным значением m, мы используем (4.25c) и записываем

Решение этого уравнения равно e^imφ, умноженному на любую функцию, не зависящую от φ, т. е. задается уравнением (4.37).

Решение для упражнения 4.32

a) При m = l уравнение (4.39) становится

Применив повышающий оператор (4.38a) к этой волновой функции, мы находим

b) Чтобы проверить нормирование, посчитаем скалярное произведение (4.15b) состояния |ll⟩ с самим собой. В расчете ниже мы заменяем переменную интегрирования на x = cosθ, откуда dx = —sinθdθ:

Приравняв ⟨ll|ll⟩ к единице, получаем уравнение (4.40).

c) Применив оператор (4.26) к уравнению (Р4.27), находим

d) Нам нужно вычислить

Поскольку

При этом

Сведя данные результаты вместе, получаем

Это согласуется с (4.33b).

Решение для упражнения 4.35. Для первого члена в левой части уравнения (4.44) имеет место равенство

где штрихи обозначают производные. Подставив этот результат в (4.44), получаем (4.46).

Решение для упражнения 4.36. При r → 0 доминирующие члены в (4.46) — те, что с минимальными степенями r, т. е. первый и второй члены в квадратных скобках. Уравнение принимает вид

его решения равны либо U_El(r) ∝ r^−l, либо U_El(r) ∝ r^l+1. Первый вариант приводит к волновой функции с разрывом в точке r = 0 и должен быть отвергнут.

Чтобы найти поведение U_El(r) в пределе при r → ∞, запишем, в соответствии с (4.47),

Теперь доминирует максимальная степень r, так что (4.46) становится

Это выражение удовлетворяется при

Решение для упражнения 4.37. Подставив (Р4.29) в (4.46), умножив обе стороны на и выразив получаем:

Сгруппировав подобные члены, перепишем это как

Теперь изменим индекс суммирования во втором члене согласно j′ = j — 1, тогда получим:

Заметим, что, поскольку l(l + 1) — j′(j′ + 1) = 0 при j′ = l, нижний предел суммирования во втором члене можно заменить на j′ = l + 1.

Многочлен в левой части уравнения (Р4.31) равен нулю при всех значениях r только в том случае, если обнуляется коэффициент при каждой степени r. Это дает нам искомое рекурсивное соотношение (4.49).