Отличная квантовая механика

Решение для упражнения 4.38. При n = 1 и l = 0 имеет место равенство κ = Me²/4πε₀ℏ², в соответствии с (4.51). Поскольку индекс j коэффициентов A_j должен принимать значения между l + 1 и n, остается только один ненулевой коэффициент A₁. Соответственно, воспользовавшись (4.51) и вспомнив, что R_nl(r) = U_nl(r)/r, получаем

R₁₀(r) = A₁e_−r/a.

Чтобы нормировать эту радиальную функцию, запишем интеграл (4.15a):

Он вычисляется при помощи (4.52):

так что A₁ = 2a^–3/2.

Если n = 2, то κ = 1/2a. Начнем с l = 0. Не обнуляются у нас коэффициенты A₁ и A₂, причем они связаны соотношением (4.49), которое в данном случае принимает вид

Нормирование этой радиальной функции дает

так что A₁ = (2a³)^–1/2.

Наконец, при n = 2 и l = 1 у нас есть только A₂, и радиальная волновая функция становится

R₂₁(r) = A₂re_−r/2a.

Тогда нормирующее уравнение имеет следующий вид:

так что A₂ = (24a⁵)^–1/2.

Решение для упражнения 4.39. Если n задано, то l может принимать любое целое значение от 0 до n — 1. Каждое из значений l, в свою очередь, является вырожденным по отношению к магнитному квантовому числу m; степень вырожденности при этом равна, как мы знаем, 2l + 1. Дополнительная вырожденность проистекает из спиновой степени свободы электрона: спиновое квантовое число для него может принимать два значения, ±1/2. Таким образом, полная вырожденность, связанная с конкретным значением n, равна

Решение для упражнения 4.40. Из уравнения (4.59) находим для энергии фотона:

Воспользовавшись тем, что оптическая частота и длина волны связаны уравнением получаем (4.61).

Согласно (4.59), серия Лаймана соответствует энергиям фотонов от до Ry, серия Бальмера — от до серия Пашена — от до Учитывая, что энергия фотона связана с его длиной волны через уравнение ℏω = 2πℏc/λ, находим, что длины волн попадают в интервал 91–122 нм для серии Лаймана, 365–656 нм для серии Бальмера и 820–1875 нм для серии Пашена (принимая во внимание поправку по приведенной массе). Только серия Бальмера располагается в пределах видимой части спектра.

Решение для упражнения 4.41. Классический электрон, движущийся по круговой орбите радиуса r со скоростью 𝑣, испытывает центростремительное ускорение 𝑣²/r, вызванное, как известно, электростатическим притяжением ядра, сила которого составляет:

Записав второй закон Ньютона Φ = M𝑣²/r, находим

При этом мы можем переписать (4.58) как

M𝑣r = nℏ.

Решив последние два уравнения для r и 𝑣, получаем

При n = 1 результат для r согласуется с определением (4.50) боровского радиуса.

Кинетическая и потенциальная энергии электрона на орбите равны соответственно

(первая равна половине последней с противоположным знаком, как и ожидалось по теореме вириала). Следовательно, полная энергия согласуется с (4.56).

Решение для упражнения 4.42. Длина волны де Бройля (3.26) так что условие Бора (4.58) pr = nℏ эквивалентно 2πr = n_λdB, т. е. орбита содержит целое число волн де Бройля. Остальное решение идентично решению предыдущего упражнения.

Решение для упражнения 4.43

a) Если исходить из той же логики, что и в упр. 4.38, то κ = 1/na и U_nl(r) имеет только один ненулевой коэффициент A_n. Радиальная волновая функция равна

R_n,n−1(r) = A_nrⁿ−1e^−r/na.

Уравнение нормирования

b) Для среднего радиуса имеет место равенство:

c) (Р4.33) для радиуса боровской орбиты может быть записано [при помощи (4.50)] как r = an². Для больших значений n это близко к указанному выше результату для среднего ⟨r⟩, полученному квантовыми методами.

Решение для упражнения 4.44. Состояние |100⟩ имеет волновую функцию

Для математического ожидания z = r cos θ имеет место равенство

поскольку — это изотропная функция, а z — нечетная функция от

Средний квадрат z задается формулой

так что среднеквадратичное отклонение равно боровскому радиусу a.

Исходя из того, что функция состояния |100⟩ изотропна, мы можем ожидать тех же результатов для наблюдаемых x и y.

Решение для упражнения 4.45. Учитывая (4.57), запишем интересующие нас матричные элементы следующим образом:

где r_j(θ, φ) = r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ для x, y, z соответственно. Мы узнали из упражнений 4.32 и 4.33, что все сферические гармоники представляют собой нечетные функции, т. е. в точках (θ, φ) и (π — θ, π + φ) они принимают противоположные значения. Это же верно для всех r_j(θ, φ). Сферическая гармоника — константа, т. е. четная функция. Это говорит о том, что подынтегральное выражение в уравнении (Р4.34) — нечетная функция при l = l′, а значит, интеграл, соответствующий обнуляется, когда производится интегрирование по всему пространству.