Отличная квантовая механика

И момент импульса, и магнитный момент представляют собой векторы, направленные ортогонально к плоскости орбиты. Поэтому полученное выражение верно и в векторном виде.

Решение для упражнения 4.55

a) Уравнение (4.67) верно для всех трех компонентов момента импульса — в частности, для компонента z:

μ_z = γL_z.

Состояние с определенным магнитным квантовым числом m — это собственное состояние с собственным значением L_z. = ℏm. Таким образом, можно записать компонент z магнитного момента в этом состоянии как

μ_z = γℏm.

b) Выберем направление оси z вдоль Тогда, согласно (4.66), имеет место равенство

E = —μ_zB = —γℏmB.

Решение для упражнения 4.57. Состояние электрона соответствует точке (θ, φ) на сфере Блоха и раскладывается по каноническому базису согласно (4.62). Поскольку эксперимент Штерна — Герлаха представляет собой измерение компонента спина вдоль магнитного поля — т. е. наблюдаемого — получаем

Решение для упражнения 4.58. Уравнение (4.75) выводится в предположении, что магнитное поле указывает вдоль оси z. Проекция спинового вектора на эту ось (т. е. направление поля) играет роль наблюдаемого, определяющего базис измерения. Градиент же определяет лишь направление силы, действующей на частицу.

Решение для упражнения 4.59. Подпространство, связанное с s = 1, трехмерно, так что оператор измеряемый в этом эксперименте, имеет три собственных значения. Следовательно, измерение может дать три возможных результата. Чтобы найти долю каждого из них, мы воспользуемся постулатом об измерениях [уравнение (1.3)] и результатом упр. 4.27. Для измерения состояния |ψ⟩ = |m_x = 0⟩ имеем

Поэтому, хотя в общем случае в эксперименте Штерна — Герлаха с частицами со спином 1 мы ожидаем увидеть три точки на экране-мишени, в данном случае в средней точке событий не будет; вероятности делятся поровну между двумя крайними точками, соответствующими m_y = ±1.

Решение для упражнения 4.60. Измерение Штерна — Герлаха — это измерение спинового компонента при определяемом полярными углами (θ₀, 0). Вероятности возможных результатов задаются постулатом об измерениях квантовой механики: pr_i = |⟨ψ|𝑣⟩|², где |ψ⟩ — начальное состояние, каноническое представление которого есть а |𝑣_i⟩ — собственные состояния заданные уравнением (Р4.37). Таким образом, вероятности результатов равны

Решение для упражнения 4.61. Эволюция в представлении Гейзенберга k-го компонента момента импульса под действием гамильтониана (4.76) выглядит так:

Последняя строка равна k-му компоненту вектора что идентично классическому результату (4.68).

Решение для упражнения 4.62

a) Гамильтониан, связанный с магнитным полем вдоль оси z, задается выражением

Эволюцией спина электрона управляет уравнение Шрёдингера

решением которого является

Эта матричная экспонента была уже нами вычислена в упр. A.94:

Применив данную эволюцию к собственному состоянию (4.62) спина ориентированного вдоль вектора определяемого полярными углами (θ₀, φ₀), получаем

Сравнив этот результат с (4.62), мы видим, что состояние после эволюции физически эквивалентно собственному состоянию спина где определяется сферическими углами (θ₀, φ₀ — Ω_Lt). Иными словами, спин прецессирует с частотой Ω_L вокруг оси z.

Траектория на сфере Блоха соответствует параллели с полярным углом[148] θ₀ (рис. Р4.2, a).

Процедура Штерна — Герлаха представляет собой измерение Ŝ_z в состоянии |ψ(t)⟩. Мы находим, что вероятность обнаружить |↑⟩ есть а Эти вероятности не зависят от времени.

b) Поскольку магнитное поле ориентировано в направлении y, мы можем записать

Начальному состоянию соответствует вектор

Решение уравнения Шрёдингера в данном случае

Сославшись вновь на упр. A.94:

Сферические координаты на сфере Блоха таковы: (θ = Ω_Lt, φ = 0). Соответственно траектория на блоховской сфере — это меридиан, пересекающий ось x (рис. Р4.2, b). Измерение Штерна — Герлаха даст вероятности pr_↑ = cos²(Ω_Lt/2) и pr_↓ = sin²(Ω_Lt/2).

c) Мы действуем по той же схеме, что и в пункте (b), но гамильтониан здесь равен:

где — «вектор», составленный из операторов Паули. Эволюция под действием этого гамильтониана задается выражением

где — вектор единичной длины в направлении магнитного поля.

Теперь мы можем воспользоваться результатом упр. A.93. Находим:

Применив этот оператор эволюции к начальному состоянию получаем

Соответствующий вектор на сфере Блоха имеет сферические углы

Когда это состояние подвергается измерению Штерна — Герлаха, вероятности обнаружить состояния «спин-вверх» и «спин-вниз» равны соответственно

pr_↑ = |⟨↑|ψ(t)⟩|² = cos²(Ω_Lt / 2) + sin²(Ω_Lt / 2)cos²θ₀; (Р4.42a)

pr_↓ = |⟨↓|ψ(t)⟩|² = sin²(Ω_Lt / 2)sin²θ₀. (Р4.42b)

Соответствующая траектория показана на рис. Р4.2 c. Она представляет собой окружность вокруг вектора магнитного поля, которая включает в себя северный полюс (первоначальное состояние).