Отличная квантовая механика

a) Утверждение вполне очевидно с учетом (3.44), но если мы попытаемся доказать его строго, то вывод получится довольно длинным. Сначала предположим, что |ψ⟩ — разделимое состояние: |ψ⟩ = |ψ_x⟩ ⊗ |ψ_y⟩ ⊗ |ψ_z⟩. Затем, сосредоточившись на x-компоненте импульса и воспользовавшись уравнениями (2.4) и (2.7), получим

Если же состояние |ψ⟩ неразделимо, то вспомним, что любой элемент пространства тензорного произведения может быть записан как линейная комбинация где каждое |ψ_i⟩ — разделимое состояние. Линейность оператора импульса и скалярного произведения позволяет нам записать

b) Воспользовавшись результатом пункта (a), находим

c) Гамильтониан представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий:

Используя результат упр. 3.22, по аналогии с пунктом a) находим, что в координатном базисе

Записав стационарное уравнение Шрёдингера Ĥ|ψ⟩ = E|ψ⟩ в координатном базисе и подставив полученный выше результат, получаем уравнение (4.9).

Решение для упражнения 4.6. Воспользовавшись соотношениями (4.11) между декартовыми и сферическими координатами, находим

Решение для упражнения 4.7

b) Нужно доказать, что для любых двух пар состояний |R_1,2⟩ и |Ψ_1,2⟩ в 𝕍_r и 𝕐 соответственно скалярное произведение состояний |R₁⟩ ⊗ |Ψ₁⟩ и |R₂⟩ ⊗ |Ψ₂⟩ равно алгебраическому произведению скалярных произведений ⟨R₁|R₂⟩ и ⟨Ψ₁|Ψ₂⟩, задаваемых уравнениями (4.15). Поскольку волновые функции состояний |R_1,2⟩ ⊗ |Ψ_1,2⟩ равны произведениям R_1,2(r) Ψ_1,2(θ, φ), воспользуемся (4.13) и запишем

Это то же самое выражение, которое получится при перемножении правых частей двух уравнений (4.15).

Решение для упражнения 4.8. Например, x-компонент момента импульса определяется как Наблюдаемые координаты и импульса эрмитовы; в дополнение к этому имеет место равенство потому что операторы, связанные с x- и y-измерениями, живут в разных гильбертовых пространствах. Таким образом, мы можем записать для эрмитово сопряженного

Решение для упражнения 4.10. И левая, и правая стороны уравнения (4.21) зависят от четырех индексов — k, l, m, n. В дополнение к этому левая часть содержит немой индекс j (индекс суммирования). Глядя на левую часть, мы замечаем: для того, чтобы ε_jkl и ε_jmn одновременно были ненулевыми, у нас должны быть k ≠ l и m ≠ n, а также множества {k, l} и {m, n} должны содержать одни и те же элементы — т. е. либо (k, l) = (m, n), либо (k, l) = (n, m). Скажем, если m = 2 и n = 3, необнуляющиеся элементы тензора ε_jmn должны иметь j = 1, следовательно, либо (k, l) = (2, 3), либо (k, l) = (3, 2). Именно отсюда возникают символы Кронекера в правой части. Если (k, l) = (m, n), то ε_jkl = ε_jmn, так что произведение δ_kmδ_ln получается с положительным знаком. Однако если (k, l) = (n, m), то ε_jkl = —ε_jmn, поэтому δ_knδ_lm имеет отрицательный знак.

Решение для упражнения 4.11

a) Воспользуемся и чтобы записать

b) Аналогично

В то же время

Сравнивая два эти выражения, получаем искомый результат:

d) Здесь мы учтем тот факт, что квадрат вектора есть его скалярное произведение с самим собой: Следовательно,

Это выражение обнуляется по следующей причине. Если мы поменяем в нем местами немые индексы k и l, то получим

Но ε_jkl = — ε_jkl. Из этого следует, что данное выражение равно самому себе с противоположным знаком, а значит, оно должно быть равно нулю.

e) Рассуждения аналогичны таковым в пункте d):

f) И опять

Решение для упражнения 4.12. Определение момента импульса (4.19) можно переписать как

Мы переставили на последнем шаге координату и импульс, потому что ε_jlk не обнуляется только в том случае, если k ≠ l, а координата и импульс, связанные с разными гильбертовыми пространствами, коммутируют друг с другом.

Выражение идентично выражению для j-го компонента вектора

Решение для упражнения 4.13

a) Для центрально-симметричного потенциала мы можем записать гамильтониан (4.7) как сумму функций наблюдаемых и

Каждый компонент момента импульса, как и его квадрат, коммутирует и с и с как мы нашли в упр. 4.11, и, следовательно, должен коммутировать с каждым из двух слагаемых гамильтониана, поскольку они являются функциями и

b) Уравнение Гейзенберга (3.129) для компонент вектора момента импульса имеет вид:

Как мы выяснили в пункте a), коммутатор в правой части превращается в нуль.

Решение для упражнения 4.14

a) Применив (4.21), запишем

Здесь мы написали, что поскольку Перестановка координаты и импульса в каждом из трех слагаемых дает iℏ.

В классической версии этих выкладок присутствуют только первые два слагаемых; третье, возникающее из-за некоммутирующих наблюдаемых, обнуляется. В классическом случае это соотношение очевидно из геометрии, потому что и где α — угол между и отсюда

b) Умножив обе части уравнения (4.8) на получаем

Теперь, подставив из пункта a) данного упражнения, находим (4.23).