Отличная квантовая механика

Теперь, воспользовавшись результатами упр. 3.60, чтобы выразить наблюдаемые координаты и импульса через операторы рождения и уничтожения и наоборот, находим

и

Решение для упражнения 3.107. Здесь мы вновь следуем логике решения для упр. 3.100. Запишем:

где фиктивный гамильтониан дается уравнением (3.170). Его можно преобразовать:

Операторы координаты и импульса эволюционируют под действием этого гамильтониана следующим образом:

Для операторов уничтожения и рождения находим

и

Решение для упражнения 3.108. Для среднеквадратичного отклонения координаты в состоянии Ŝ(r)|ψ⟩ можно записать:

Рассуждения для неопределенности импульса проводятся аналогично.

Решение для упражнения 3.109

a) Необходимо убедиться в том, что Чтобы вычислить этот интеграл, заменим переменную интегрирования на X' = Xe_r. Тогда dX = dX'e_−r и

где мы воспользовались известной нормировкой волновой функции вакуумного состояния.

b) Из уравнения (3.171) находим 𝑓(X,t) = Xe_-r = Xe_−γt, так что 𝑓'(X,t) = Xe_-r и 𝑓₋₁(X,t) = Xe_r. Следовательно, (3.154) принимает вид

|ψ(x,t)|² = Xe^r|ψ₀(e^rX)|².

Это согласуется с уравнением (3.175a).

Решение для упражнения 3.110. Гамильтониан (3.170) можно записать в координатном базисе:

Подставляя в качестве ψ(X,t) правую часть уравнения (3.175а) и проводя дифференцирование, видим, что эта функция действительно является решением уравнения (Р3.106). Доказательство для волновой функции в импульсном базисе аналогично.

Решение для упражнения 3.111

a) Оператор эволюции под действием гамильтониана (3.177) есть

Записав операторы рождения и уничтожения через координату и импульс, преобразуем гамильтониан следующим образом:

b) Применив уравнение Гейзенберга к наблюдаемым координаты и импульса и вспомнив, что операторы, связанные с разными осцилляторами, коммутируют между собой, находим

Эти результаты приводят к

что эквивалентно уравнениям (3.178) и (3.179), поскольку r = γt.

Чтобы найти эволюцию операторов уничтожения, определим следующие два оператора:

Эволюцию этих операторов можно найти способом, аналогичным тому, что мы использовали для одномодового случая:

из чего следует, что

Расчет для â_B(t) производится так же.

c) Как и в упр. 3.108, мы воспользуемся фактом, доказанным при введении представления Гейзенберга: математическое ожидание любого наблюдаемого Â = Â(0) в состоянии Ŝ₂(r)|0,0⟩ равно матожиданию «сжатого» наблюдаемого в вакуумном состоянии |0, 0⟩. Однако, прежде чем продолжить доказательство соотношений (3.183) и (3.184), удобно определить моменты «несжатых» наблюдаемых по отношению к вакуумному состоянию. Находим:

Для сжатых наблюдаемых из (3.178) и (3.179) следует, что

где усреднение по-прежнему производится по отношению к вакуумному состоянию, потому что мы работаем в представлении Гейзенберга. Отсюда для координаты Алисы имеет место равенство

Для координаты Боба и для импульса вычисления аналогичны.

Решение для упражнения 3.112. В координатном базисе гамильтониан (3.177) становится

так что уравнение Шрёдингера (1.31) принимает вид:

где Ψ_sq2(X_A,X_B) задается уравнением (3.186a) при r = γt. Верность уравнения (Р3.113) легко подтверждается непосредственными вычислениями.

Доказательство для волновой функции в импульсном базисе аналогично.

Решение для упражнения 3.113

a) Когда Алиса наблюдает у себя конкретное значение координаты X_A, состояние |Ψ⟩ схлопывается в ⟨X_A|Ψ⟩ в гильбертовом пространстве Боба. Волновая функция этого состояния

ψ_B(X_B) = ⟨X_B|(⟨X_A|Ψ)⟩ = ⟨X_A,X_B|Ψ⟩ = Ψ(X_A,X_B),

что равняется волновой функции первоначального двумодового сжатого вакуумного состояния. Эту волновую функцию следует, однако, интерпретировать иначе: теперь X_A — конкретное значение, которое уже наблюдала Алиса, тогда как X_B — это аргумент еще не измеренной волновой функции Боба. Обратите внимание, что данная волновая функция является ненормированной в гильбертовом пространстве Боба, поскольку включает в себя вероятность того, что Алиса обнаружит у себя конкретное значение X_A.

Чтобы найти неопределенность координаты, перепишем эту волновую функцию как

Преобразуя это выражение далее, получаем:

В то время как первая из представленных выше экспонент является постоянным множителем (так как X_A постоянно), вторая — это гауссова функция от X_B шириной 1/u. Сравнив ее с гауссовой функцией в упр. 3.25, находим:

b) Решение аналогично проведенному для пункта a) и дает тот же ответ.

Решение для упражнения 3.114

Решение для упражнения 3.115

a) Раскладывая оператор (3.169) в степенной ряд до первого члена и применяя его к вакуумному состоянию, находим:

Квадрат нормы данного состояния равен ⟨ψ |ψ⟩ = 1 + r²/2, что аппроксимируется единицей в первом порядке по r.

Математические ожидания координаты и импульса в этом состоянии равны

Дисперсии же этих наблюдаемых равны соответственно