Отличная квантовая механика

b) Используя (3.118) и (3.119), находим

Решение для упражнения 3.75. Разложив согласно (3.122)

Решение для упражнения 3.76. Предположим, существует собственное состояние оператора рождения

⟨â_†|β⟩ = β|β⟩, (Р3.90)

где β — собственное значение. Оно должно иметь некоторое разложение в фоковском базисе:

Подставив данное разложение в (Р3.90), находим

В левой части этого уравнения нет вакуумного состояния |0⟩. Это означает, что его не должно быть и в правой части, поэтому либо β = 0, либо β₀ = 0. Если β = 0, то вся правая сторона уравнения (Р3.92) обнуляется, и то же происходит с левой его стороной, отсюда все β_i = 0. Однако если β₀ = 0, то в левой части отсутствует также член с первым фоковским состоянием |1⟩, а это, в свою очередь, заставляет нас сделать вывод, что β₁ = 0. Продолжая цепь рассуждений, находим, что и в таком случае все β_i должны обнулиться, а значит, |β⟩ = 0.

Решение для упражнения 3.77. В представлении Шрёдингера

|ψ(t)⟩ = e_-i(Ĥ/^ℏ_)t = |ψ (0)⟩. (Р3.93)

Отсюда математическое ожидание Â равно

⟨ψ(t)|Â|ψ(t)⟩ = ⟨ψ(0)|e_i(Ĥ/^ℏ_)tÂe_−i(Ĥ/^ℏ_)t|ψ (0)⟩.

а это то же самое, что матожидание оператора (3.127), эволюционирующего в соответствии с представлением Гейзенберга.

Решение для упражнения 3.78. Продифференцируем обе части уравнения (3.127) по времени:

где последняя строка следует из коммутативности Ĥ и e^iĤ/ℏ. Отсюда

Решение для упражнения 3.79. Используя уравнение Гейзенберга, находим:

Решение для упражнения 3.80. Вывод уравнения (3.133a) под действием гамильтониана (3.55) идентичен выводу, сделанному в предыдущем упражнении. Чтобы получить уравнение (3.133b), разложим потенциал в степенной ряд по отношению к

Последнее выражение равно согласно уравнению (Р3.94).

Решение для упражнения 3.81. Оператор эволюции есть функция гамильтониана и, следовательно, коммутирует с ним. Поэтому

Решение для упражнения 3.82. Операторы координаты и импульса эволюционируют в представлении Гейзенберга согласно

где — оператор эволюции. Подставляя эти выражения в правую часть уравнения (3.138) и используя степенное разложение (Р3.94) потенциала, находим

Для второго равенства в приведенной выше цепочке мы воспользовались унитарностью оператора эволюции Например, в случае импульса:

Таким образом мы показали, что правые стороны уравнений (3.137) и (3.138) равны.

Решение для упражнения 3.83. Степенное разложение функции многих переменных представляет собой сумму вида

где C_j — это постоянный коэффициент, а каждый A^(j,i)(t) — один из операторов Â₁(t)….,Â_m(t). Подставив выражение для эволюции Гейзенберга этих операторов, находим

Решение для упражнения 3.84

Решение для упражнения 3.85. Подставляя решение (3.131) в гамильтониан (3.83) и используя находим

Решение для упражнения 3.86. Уравнение Гейзенберга для координаты и импульса принимает вид

Эволюция для момента времени t₀ = x₀/β приведет к смещению (3.143).

Решение для упражнения 3.87. Оператор смещения — комплексная экспонента эрмитова оператора, поэтому она унитарна согласно упр. A.92. Отсюда Далее, воспользовавшись (3.145), находим

Решение для упражнения 3.88

a) Сначала перепишем |x⟩ в импульсном базисе:

Каждое собственное состояние |p⟩ оператора импульса является также собственным состоянием оператора Поэтому приведенное выше выражение можно переписать как

b) Обозначая волновую функцию смещенного состояния как ψ_d(x), находим:

c) Это следует непосредственно из упр. A.85.

d) Если то

Волновая функция этого состояния в импульсном базисе —

Решение для упражнения 3.89

a) В представлении Гейзенберга имеют место равенства и Отсюда

В представлении Шрёдингера мы можем утверждать, что, поскольку оператор смещает всю волновую функцию на x₀ (рис. 3.12), он должен также добавлять x₀ к среднему значению координаты. Формально это можно выразить следующим образом. Для среднего значения координаты в состоянии получаем:

Первый член в данном выражении равен ⟨x⟩_|ψ⟩ (мы можем убедиться в этом, заменив переменную интегрирования на x′ = x — x₀). Второй член равен x₀, потому что волновая функция нормированна.

Для вычисления среднего импульса заметим, что из упр. 3.88, d) вытекает отсюда

b) Идентичность неопределенностей координаты и импульса у смещенного и исходного состояний опять же интуитивно понятна (рис. 3.12). Строго это можно доказать следующим образом. В представлении Гейзенберга:

и

⟨Δp(t)²⟩ = ⟨p(t)²⟩ — ⟨p(t)⟩² = ⟨p(0)²⟩ — ⟨p(0)⟩² = ⟨Δp(0)²⟩.

В представлении Шрёдингера мы имеем для координаты

Решение для упражнения 3.90. Доказательство ведется аналогично проведенному для упр. 3.88. К примеру:

Решение для упражнения 3.91